Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais,
x^{4} y^{(4)}+x y^{\prime \prime \prime}=e^{x}
(i) ordem,

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x^{4} y^{(4)} + x y^{\prime\prime\prime} = e^{x}
e pede, no item (i), que se determine a ordem da equação. Informações fornecidas explicitamente:
  • A equação envolve as derivadas \,y^{\prime\prime\prime} e \,y^{(4)}.
  • Os coeficientes das derivadas são funções de x: x^{4} e x.
  • O termo do lado direito é e^{x}.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de y que aparece na equação.
  • Em notação, y' é a primeira derivada, y'' a segunda, y^{(3)} a terceira, y^{(4)} a quarta, e assim por diante. Cada y^{(n)} representa a derivada de ordem n de y em relação à variável independente (aqui x).

Passo 3

Liste as derivadas presentes na equação dada:
  • Aparece \,y^{\prime\prime\prime} (derivada de ordem 3).
  • Aparece \,y^{(4)} (derivada de ordem 4).
    O maior índice entre as derivadas presentes é 4, portanto a ordem da equação é 4.
Observação didática rápida: o fato de o coeficiente x^{4} anular-se em x=0 não altera a ordem formal da equação — ela continua sendo uma equação de ordem \,4 (porém x=0 pode ser um ponto singular da equação).

Resposta

Ordem 4

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