[12] Esboce a região de integração, inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:
integral0^8 integralraiz[3]y^2 raizx^4+1 d x d y

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a integral dupla integral0^8integralraiz[3]y^2raizx^4+1,dx,dy. O objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem e calcular a integral. Vamos usar geometria de regiões e técnicas de integração, incluindo substituição.

Passo 2

Esboço da região no plano xy: a curva x=raiz[3]y equivale a y=x^3. Como y vai de 0 a 8, temos x de 0 a 2. A região é limitada por y=0, x=2 e y=x^3.

Passo 3

Determinando os novos limites de integração: fixa-se x entre 0 e 2. Para cada x, y varia de 0 até x^3. Assim, a ordem invertida é
integral0^2integral0^x^3raizx^4+1,dy,dx

Passo 4

Integração em y: integrando primeiro em y, a função não depende de y. Temos
integral0^x^3raizx^4+1,dy = x^3raizx^4+1

Passo 5

Agora calculamos a integral em x:
integral0^2x^3raizx^4+1,dx

Passo 6

Aplicando a substituição u=x^4+1, du=4x^3,dx, obtemos
integral0^2x^3raizx^4+1,dx = 14integralu(0)^u(2)u^1/2,du = 14integral1^17u^1/2,du = 16l[u^3/2r]1^17

Passo 7

Substituindo e simplificando, o resultado final é
16l(17raiz17-1r)

Resposta

16(17raiz17-1)

Exercícios relacionados