[12] Esboce a região de integração, inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a integral dupla
. O objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem e calcular a integral. Vamos usar geometria de regiões e técnicas de integração, incluindo substituição.
Passo 2
Esboço da região no plano
: a curva
equivale a
. Como
vai de 0 a 8, temos
de 0 a 2. A região é limitada por
,
e
.
Passo 3
Determinando os novos limites de integração: fixa-se
entre 0 e 2. Para cada
,
varia de 0 até
. Assim, a ordem invertida é
Passo 4
Integração em
: integrando primeiro em
, a função não depende de
. Temos
Passo 5
Agora calculamos a integral em
:
Passo 6
Aplicando a substituição
,
, obtemos
Passo 7
Substituindo e simplificando, o resultado final é