Use a definição de derivada para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f(x) em P=(a, f(a)) e em seguida calcule a equação da reta tangente em P.
f(x)=3-2 x^2 em P=(1, f(1))

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f(x)=3-2x^2 no ponto P=(1,f(1)) e, em seguida, a equação da reta tangente. O conteúdo abordado é derivada pela definição de limite e reta tangente no ponto, e vamos precisar da fórmula:
f'(a) = limhto0 f(a+h)-f(a)h
e da equação ponto-inclinação da reta:
y - f(a) = f'(a),(x - a)

Passo 2

Avaliar f(1) para obter a coordenada y do ponto P. Substituindo x=1 em f(x)=3-2x^2, temos:
f(1)=3-2cdot1^2=1,
logo P=(1,1).

Passo 3

Calcular o coeficiente angular f'(1) usando a definição de derivada. Primeiro, expressamos f(1+h):
f(1+h)=3-2(1+h)^2=3-2(1+2h+h^2)=1-4h-2h^2
Em seguida, montamos o quociente e fazemos o limite:
f(1+h)-f(1)h = (1-4h-2h^2)-1h = -4h-2h^2h = -4-2h,
e ao hto0 obtemos f'(1)=-4.

Passo 4

Com o coeficiente angular m=f'(1)=-4 e o ponto P=(1,1), usamos a equação da reta tangente:
y-1 = -4,(x-1),
que ao simplificar resulta em
y=-4x+5

Resposta

y = -4x + 5

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