Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral d xsen^5 x cos ^3 x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral dxsin^5 x,cos^3 x. Isso é integração de funções trigonométricas racionais, em que vamos usar identidades trig e a substituição u=tan x.

Passo 2

Reescrevemos a integranda em termos de tan x e sec x. Como sin^5 x=tfractan^5 xsec^5 x e cos^3 x=tfrac1sec^3 x, temos:
1sin^5 x,cos^3 x =sec^5 xtan^5 xcdotsec^3 x =sec^8 xtan^5 x

Passo 3

Fazendo a substituição u=tan x, então du=sec^2 x,dx e dx=tfracdusec^2 x. A integral fica:
integral sec^8 xtan^5 x,dx =integral sec^8 xtan^5 xcdotdusec^2 x =integral sec^6 xtan^5 x,du
E como sec^2 x=1+u^2, temos sec^6 x=(1+u^2)^3. Logo
integral (1+u^2)^3u^5,du

Passo 4

Expandimos o numerador e dividimos por u^5:
(1+u^2)^3=1+3u^2+3u^4+u^6,
portanto
integral 1+3u^2+3u^4+u^6u^5,du =integral l(u^-5+3u^-3+3u^-1+ur),du
Integrando termo a termo:
integral u^-5,du=-tfrac14u^-4, integral 3u^-3,du=-tfrac32u^-2, integral 3u^-1,du=3ln|u|, integral u,du=tfracu^22

Passo 5

Voltando para x com u=tan x, a primitiva geral é
-14tan^4 x-32tan^2 x+3ln|tan x|+tan^2 x2+C

Resposta

-\frac{1}{4\tan^4 x}-\frac{3}{2\tan^2 x}+3\ln|\tan x|+\frac{\tan^2 x}{2}+C

Exercícios relacionados