Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O problema pede para calcular a integral
. Isso é integração de funções trigonométricas racionais, em que vamos usar identidades trig e a substituição
.
Passo 2
Reescrevemos a integranda em termos de
e
. Como
e
, temos:
Passo 3
Fazendo a substituição
, então
e
. A integral fica:
E como
, temos
. Logo
Passo 4
Expandimos o numerador e dividimos por
:
portanto
Integrando termo a termo:
Passo 5
Voltando para
com
, a primitiva geral é
Resposta
-\frac{1}{4\tan^4 x}-\frac{3}{2\tan^2 x}+3\ln|\tan x|+\frac{\tan^2 x}{2}+C