Use a definição de derivada para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f(x) em P=(a, f(a)) e em seguida calcule a equação da reta tangente em P.
f(x)=raizx em P=(4,2)

Passo 1

A questão pede o coeficiente angular da reta tangente a f(x)=√x no ponto P=(4,2) usando a definição de derivada e, em seguida, a equação dessa reta.

Passo 2

A definição de derivada em a=4 é a inclinação m = f’(4), dada por
f'(4) = limh to 0 raiz4 + h - raiz4h

Passo 3

Para simplificar o quociente de diferença, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
raiz4 + h - 2h = raiz4 + h - 2h cdot raiz4 + h + 2raiz4 + h + 2 = 4 + h - 4h(raiz4 + h + 2) = 1raiz4 + h + 2

Passo 4

Agora calculamos o limite quando h → 0 para obter m:
m = limh to 0 1raiz4 + h + 2 = 12 + 2 = 14

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação para a reta tangente:
y - 2 = 14(x - 4)
Isolando y, chega-se a
y = 14x + 1

Resposta

O coeficiente angular é m = 14 e a equação da reta tangente em P é y = 14x + 1.

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