Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral raiz1-x1+x d x

Passo 1

A questão pede calcular a integral indefinida integral raiz1-x1+x,dx. O conteúdo envolve integração de funções com raiz racional, e uma boa sacada é usar uma substituição trigonométrica que simplifique essa raiz.

Passo 2

Para transformar a raiz, fazemos a substituição x=cos(2theta). Assim, temos
raiz1-x1+x = raiz1-cos2theta1+cos2theta = tantheta,
e
dx = -2sin2theta,dtheta = -4sinthetacostheta,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral original, fica
integral raiz1-x1+x,dx = integral tantheta ;(-4sinthetacostheta),dtheta = -4integral sin^2theta,dtheta
Para avançar, usamos a identidade sin^2theta=tfrac1-cos2theta2:
-4integral sin^2theta,dtheta = -4integral 1-cos2theta2,dtheta = -2integral (1-cos2theta),dtheta

Passo 4

Agora é só integrar termo a termo:
-2integral (1-cos2theta),dtheta = -2theta + integral 2cos2theta,dtheta = -2theta + sin2theta + C

Passo 5

Falta voltar a x. Como x=cos2theta, temos 2theta=arccos x e sin2theta=raiz1-x^2. Logo,
-2theta + sin2theta + C = -2l(tfrac12arccos xr) + raiz1-x^2 + C = -arccos x + raiz1-x^2 + C

Resposta

raiz1-x^2 - arccos x + C

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