(2,0 pontos) Resolver a integral
integral x cos ^2 x d x
usando o método de integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral xcos^2x,dx
usando o método de integração por partes. Vamos também usar a identidade de redução
cos^2x=1+cos2x2
para simplificar a integral antes de aplicar partes.

Passo 2

Substituindo a identidade em cos^2x dentro da integral, temos
integral xcos^2x,dx =integral x;1+cos2x2,dx =12integral x,dx+12integral xcos2x,dx

Passo 3

A primeira parcela é trivial:
12integral x,dx =12cdotx^22 =x^24

Passo 4

Para a segunda parcela
12integral xcos2x,dx
usamos integração por partes. Tomamos
u = x, dv = cos2x,dx,
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du = dx, v = integral cos2x,dx = 12sin2x

Passo 5

Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos
integral xcos2x,dx = xcdot12sin2x - integral 12sin2x,dx =xsin2x2 -12integral sin2x,dx
Agora
integral sin2x,dx = -12cos2x,
então
integral xcos2x,dx =xsin2x2 -12l(-12cos2xr) =xsin2x2+cos2x4

Passo 6

Voltando à segunda parcela com o fator tfrac12, temos
12integral xcos2x,dx =12l(xsin2x2+cos2x4r) =xsin2x4+cos2x8
Somando com a primeira parcela tfracx^24, obtemos
integral xcos^2x,dx =x^24+xsin2x4+cos2x8+C

Resposta

boxedintegral xcos^2x,dx =x^24+xsin2x4+cos2x8+C

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