Determine quais das seguintes transformações são aplicações lineares:
\mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{2}
\mathrm{T}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}^{2}
T(x)=(x, 2 x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das duas transformações abaixo são lineares:
1. \;T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2;, cuja regra não foi fornecida.
2. \;T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2; dada por
T(x) = (\,x,\,2x).
Para isso, vamos usar a definição: uma transformação T é linear se, para quaisquer escalares a,b e vetores (ou números) u,v, valem
T(a\,u + b\,v) \;=\; a\,T(u) \;+\; b\,T(v).

Passo 2

Não há como testar a linearidade de T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 porque a regra de atribuição não foi especificada. Sem essa informação, não podemos concluir se satisfaz ou não a condição de linearidade.

Passo 3

Vamos testar a linearidade de T:\mathbb R\to\mathbb R^2 com T(x)=(x,2x). Tomemos quaisquer a,b\in\mathbb R e quaisquer u,v\in\mathbb R. Então
T\bigl(a\,u + b\,v\bigr) = \bigl(a\,u + b\,v,\;2\,(a\,u + b\,v)\bigr) = \bigl(a\,u + b\,v,\;a\,(2u) + b\,(2v)\bigr).
Por outro lado,
a\,T(u) + b\,T(v) = a\,(u,2u) \;+\; b\,(v,2v) = (a\,u,\,a\,(2u)) \;+\; (b\,v,\,b\,(2v)) = (a\,u + b\,v,\;a\,(2u)+b\,(2v)).
Como as duas expressões coincidem, T é linear.

Resposta

– A transformação T: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 não pode ser avaliada por falta da regra.
– A transformação T: \mathbb R \to \mathbb R^2, T(x)=(x,2x), é linear.

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