12 Hoje uma editora está produzindo 20000 livros e, a cada dia, deve produzir 30% a mais do que produziu no dia anterior.
a) Quanto deverá produzir daqui a 5 dias?
b) Em quantos dias deverá produzir 33800 livros?

Passo 1

O enunciado diz que hoje a produção é de 20000 livros e que a cada dia a editora produz 30\% a mais do que no dia anterior. Isso caracteriza uma progressão geométrica discreta (PG) com termo inicial N_0=20000 e razão diária q=1+0,30=1,3. Vamos usar a fórmula geral de crescimento exponencial e, no item (b), logaritmos para inverter a equação.

Passo 2

Em uma PG de primeiro termo N_0 e razão q, o n-ésimo termo é
N_n = N_0 \,q^n.

Passo 3

(a) Para saber quantos livros serão produzidos daqui a 5 dias, basta usar n=5:
N_5 = 20000 \times (1,3)^5.
Calculando passo a passo:
1,3^2 = 1,69,\quad 1,3^4 = (1,69)^2 \approx 2,8561,\quad 1,3^5 = 1,3 \times 2,8561 \approx 3,71293.
Logo
N_5 \approx 20000 \times 3,71293 \approx 74258{,}6,
isto é, aproximadamente 74259 livros.

Passo 4

(b) Queremos o número de dias n para que N_n=33800. Da fórmula
20000 \times 1,3^n = 33800
vem
1,3^n = \frac{33800}{20000} = 1,69.
Aplicando logaritmo neperiano:
n = \frac{\ln(1,69)}{\ln(1,3)}.
Como 1,69=1,3^2, já vemos que
n = 2.

Resposta

(a) 74259 livros (aproximadamente).
(b) 2 dias.

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