19 Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quals marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.
20 Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:
a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987?
b) Quantas unidades serão produzidas em 1991?

Passo 1

O problema pede para colocar 16 telefones entre dois já existentes no acostamento de uma estrada, um em \mathrm{km}\,3 e outro em \mathrm{km}\,88, de modo que a distância entre dois telefones consecutivos seja sempre a mesma. Vamos modelar as posições como uma progressão aritmética (PA) cujo primeiro termo é a_1=3, o último termo é a_{18}=88 (pois, além dos dois já existentes, teremos mais 16, totalizando 18 termos) e cuja razão d é constante.

Passo 2

Para achar a razão d de uma PA, usamos
d = \frac{a_{18} - a_1}{18-1}.
Substituindo a_{18}=88 e a_1=3:
d = \frac{88 - 3}{17} = \frac{85}{17} = 5.

Passo 3

A fórmula geral para o k-ésimo termo da PA é
a_k = a_1 + (k-1)\,d.
Os novos telefones correspondem aos termos de índice k=2,3,\dots,17, pois k=1 é o telefone em \mathrm{km}\,3 e k=18 é o telefone em \mathrm{km}\,88.

Passo 4

Calculando a_k = 3 + (k-1)\cdot 5 para k=2,3,\dots,17, obtemos a sequência
8,\;13,\;18,\;23,\;28,\;33,\;38,\;43,\;48,\;53,\;58,\;63,\;68,\;73,\;78,\;83.

Passo 5

O problema informa que a produção anual de um produto cresce em progressão aritmética (PA). Em 1986 a produção foi 6530 unidades e em 1988 foi 23330 unidades. Vamos tomar 1986 como ano 1 ( a_1=6530) e 1988 como ano 3 ( a_3=23330). Queremos:
a) a produção em 1987 ( a_2),
b) a produção em 1991.

Passo 6

A razão d de uma PA é dada por
d = \frac{a_3 - a_1}{3-1}.
Substituindo os valores:
d = \frac{23330 - 6530}{2} = \frac{16800}{2} = 8400.

Passo 7

a) A produção em 1987 é o segundo termo:
a_2 = a_1 + d = 6530 + 8400 = 14930.

Passo 8

Para 1991, observamos que 1991 é o sexto ano contado desde 1986 ( 1986\to a_1, ···, 1991\to a_6). Então
a_6 = a_1 + 5\,d = 6530 + 5\cdot 8400 = 6530 + 42000 = 48530.

Resposta

(a) 14930 unidades em 1987.
(b) 48530 unidades em 1991.

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