19 Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quals marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.
20 Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:
a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987?
b) Quantas unidades serão produzidas em 1991?
20 Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:
a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987?
b) Quantas unidades serão produzidas em 1991?
Passo 1
O problema pede para colocar
telefones entre dois já existentes no acostamento de uma estrada, um em
e outro em
, de modo que a distância entre dois telefones consecutivos seja sempre a mesma. Vamos modelar as posições como uma progressão aritmética (PA) cujo primeiro termo é
, o último termo é
(pois, além dos dois já existentes, teremos mais
, totalizando
termos) e cuja razão
é constante.
Passo 2
Para achar a razão
de uma PA, usamos
Substituindo
e
:
Passo 3
A fórmula geral para o
-ésimo termo da PA é
Os novos telefones correspondem aos termos de índice
, pois
é o telefone em
e
é o telefone em
.
Passo 4
Calculando
para
, obtemos a sequência
Passo 5
O problema informa que a produção anual de um produto cresce em progressão aritmética (PA). Em
a produção foi
unidades e em
foi
unidades. Vamos tomar
como ano
(
) e
como ano
(
). Queremos:
a) a produção em (
),
b) a produção em .
a) a produção em
b) a produção em
Passo 6
A razão
de uma PA é dada por
Substituindo os valores:
Passo 7
a) A produção em
é o segundo termo:
Passo 8
Para
, observamos que
é o sexto ano contado desde
(
, ···,
). Então
Resposta
(a)
unidades em
.
(b) unidades em
.
(b)