Às 12 horas o corpo de uma aparente vítima de um homicídio encontra-se num quarto que se conserva a temperatura constante e igual a 70^circ F. Nessa hora, a temperatura do corpo é de 80^circ F e às 13 horas é de 75^circ F. Considere que a temperatura do corpo no momento da morte era de 98,6^0 F e que o corpo esfria-se de acordo com a Lei de Esfriamento de Newton. Qual foi a hora da morte? (Resp.: 10 hs 28 minutos aprox).

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura ambiente é Ta=70^circF, que no instante das 12 h o corpo está a 80^circF e uma hora depois (às 13 h) está a 75^circF. Sabemos também que, no momento da morte, a temperatura do corpo era 98,6^circF. Vamos usar a Lei de Esfriamento de Newton, cujo modelo é
T(t)=Ta+l(T0-Tar)e^-k,t,
onde T0 é a temperatura inicial (no instante da morte), k é a constante de resfriamento e t é o tempo decorrido desde a morte (em horas).

Passo 2

Para achar k, note que entre 12 h e 13 h decorre exatamente 1 h, e
T(13rm h)-Ta = l(T(12rm h)-Tar)e^-kcdot1
Substituindo T(12rm h)=80 e T(13rm h)=75:
75-70 = (80-70),e^-k Longrightarrow 5 = 10,e^-k Longrightarrow e^-k = 0,5 Longrightarrow k = ln 2

Passo 3

Agora definimos De<a como o tempo (em horas) entre a morte e as 12 h. Pelo modelo,
T(12rm h)-Ta = l(T0-Tar)e^-k,De<a
Substituindo T(12rm h)=80, T0=98,6, Ta=70 e k=ln2:
10 = 28,6,e^-(ln2),De<a Longrightarrow e^-(ln2),De<a = 1028,6approx0,34965 Longrightarrow -(ln2),De<a = ln(0,34965)
De<a = -ln(0,34965)ln2approx1,516 h

Passo 4

Como De<aapprox1,516 h antes de 12 h, a hora da morte foi
12h - 1,516h = 10,484h,
ou seja, 10 h mais 0,484times60approx29 min.

Resposta

Aproximadamente às 10 h 28 min.

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