Quando um motor é desligado sua temperatura é de 98 graus. A temperatura do meio é de 21 graus. Após 10 minutos a temperatura do motor caiu para 88 graus. Em que instante a temperatura será de 35 graus?

Passo 1

Temos um motor que, ao ser desligado, está a 98,^circC num ambiente de 21,^circC. Após 10 minutos a temperatura do motor cai para 88,^circC. Queremos saber em que instante t a temperatura chega a 35,^circC. O conteúdo é a Lei de Resfriamento de Newton, que afirma que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio.

Passo 2

Pela Lei de Newton, a temperatura T(t) em função do tempo satisfaz
T(t) = Tamb + l(T(0) - Tambr),e^-k,t,
onde Tamb=21, T(0)=98 e k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 3

Usando a condição T(10)=88, substituímos na fórmula:
88 = 21 + (98 - 21),e^-10k
o que dá
67 = 77,e^-10k Longrightarrow e^-10k = 6777

Passo 4

Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
-10k = ln!l(6777r) Longrightarrow k = -110,ln!l(6777r) = 110,ln!l(7767r)

Passo 5

Agora impomos T(t)=35. Da equação
35 = 21 + 77,e^-k,t
vem
14 = 77,e^-k,t Longrightarrow e^-k,t = 1477 = 211
e portanto
-k,t = ln!l(211r) Longrightarrow t = -1k,ln!l(211r)
Substituindo k = tfrac110ln!l(tfrac7767r), fica
t = 10,ln!l(tfrac112r)ln!l(tfrac7767r) approx 122,3 minutos

Resposta

A temperatura do motor será de 35,^circC aproximadamente 122,3 minutos após o desligamento.

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