12 A humanidade atingiu, em outubro, a cifra de 6.10^{9} habitantes. Supondo que o consumo médio, por habitante, de energia calorífica proveniente dos alimentos é da ordem de 2000 \mathrm{kcal}(1 \mathrm{kcal}=1000 \mathrm{cal}) e que o calor de fusão do gelo vale \mathrm{L}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, calcule:
a) quantas toneladas de gelo seriam transformadas em água, diariamente, caso essa energia fosse utilizada para fundir gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} (a densidade do gelo é de 0,9 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} );

Passo 1

O enunciado pede que calculemos quantas toneladas de gelo seriam transformadas em água, diariamente, se toda a energia calórica média consumida por pessoa viesse para fundir gelo a 0^\circ\mathrm{C}. Informações fornecidas e relevantes:
população =6\times10^{9} habitantes \n
consumo médio por habitante =2000\\ \mathrm{kcal/dia} \n
conversão 1\\ \mathrm{kcal}=1000\\ \mathrm{cal} \n
calor de fusão do gelo L=80\\ \mathrm{cal/g} \n
densidade do gelo =0,9\\ \mathrm{g/cm^{3}} \n
A pergunta direta é: quantas toneladas de gelo (massa) seriam derretidas por dia.

Passo 2

Converter o consumo médio por habitante para calorias (unidade compatível com L). Começamos com \,2000\\ \mathrm{kcal/dia}. Usando 1\\ \mathrm{kcal}=1000\\ \mathrm{cal}, temos:
\text{energia por habitante} = 2000\times1000\\ \mathrm{cal/day} = 2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{cal/day}.
Explicação didática: multiplicamos por 1000 porque cada kcal vale 1000 calorias (a unidade L está em \mathrm{cal/g}, então precisamos dessa unidade).

Passo 3

Calcular a energia total disponível por dia para toda a humanidade, multiplicando pela população:
Q_{\text{total}} = (\text{população})\times(\text{energia por habitante}) = 6\times10^{9}\times 2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{cal/day}.çã
Fazendo a multiplicação em notação científica:
Q_{\text{total}} = 1{,}2\times10^{16}\\ \mathrm{cal/day}.
Explicação didática: multiplicamos os coeficientes 6\times2{,}0=12 e somamos expoentes 10^{9}\times10^{6}=10^{15}, obtendo 12\times10^{15}=1{,}2\times10^{16}.

Passo 4

Usar a fórmula da fusão para relacionar energia e massa a fundir:
Q = m\,L,
onde \,Q é a energia necessária (em \mathrm{cal}), \,m é a massa de gelo fundida (em \mathrm{g}) e \,L é o calor de fusão (em \mathrm{cal/g}). Desta fórmula isolamos m:
m = \frac{Q}{L}.
Substituindo Q_{\text{total}}=1{,}2\times10^{16}\\ \mathrm{cal} e L=80\\ \mathrm{cal/g},
m = \frac{1{,}2\times10^{16}}{80}\\ \mathrm{g} = 1{,}5\times10^{14}\\ \mathrm{g}.
Explicação didática: dividir energia total pelo calor necessário por grama nos dá quantos gramas podem ser derretidos.

Passo 5

Converter a massa de gramas para toneladas métricas. Lembre que 1\\ \text{tonelada} =1000\\ \mathrm{kg}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{g}. Portanto,
\text{toneladas} = \frac{m\\ (\mathrm{g})}{1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{g/tonelada}} = \frac{1{,}5\times10^{14}}{1{,}0\times10^{6}} = 1{,}5\times10^{8}\\ \text{toneladas/dia}.
Explicação didática: dividimos por 10^{6} para passar de gramas para toneladas (cada tonelada tem um milhão de gramas).

Passo 6

(Observação extra — uso da densidade) Se quisermos estimar o volume de gelo correspondente, usamos a densidade \rho=0{,}9\\ \mathrm{g/cm^{3}}. O volume em \mathrm{cm^{3}} é
V = \frac{m}{\rho} = \frac{1{,}5\times10^{14}}{0{,}9}\\ \mathrm{cm^{3}} \approx 1{,}666\ldots\times10^{14}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Convertendo para \mathrm{m^{3}} (lembrando que 1\\ \mathrm{m^{3}}=10^{6}\\ \mathrm{cm^{3}}):
V \approx 1{,}666\ldots\times10^{8}\\ \mathrm{m^{3}}\approx 0{,}167\\ \mathrm{km^{3}}.
Isto só para ter uma intuição do volume — não era pedido, mas mostra que a quantidade é enorme.

Resposta

1{,}5\times10^{8}\\ \text{toneladas/dia}

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