37 Em um tanque, há 1,8 \mathrm{~m}^{3} de água a 5^{\circ} \mathrm{C}. Se dispõe de água a 65^{\circ} \mathrm{C} que será despejada no tanque por uma torneira a uma taxa de 100 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}. Determine o tempo que a torneira deve permanecer aberta para que a temperatura da mistura atinja 35^{\circ} \mathrm{C}, desprezando todas as influências extremas no sistema.
38 Num forno de micro-ondas é colocada uma vasilha contendo 3,0 \mathrm{~kg} de água a 10^{\circ} \mathrm{C}. Após manter o forno ligado por 14 minutos, verifica-se que a água atinge a temperatura de 50,0^{\circ} \mathrm{C}. O forno é então desligado e dentro da vasilha com água é colocado um corpo com massa de 1,0 \mathrm{~kg} e calor específico igual a 0,20 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}, à temperatura inicial de 0^{\circ} \mathrm{C}. Despreze o calor necessário para aquecer a vasilha e considere que a potência fornecida pelo fogo é continuamente absorvida pelos corpos dentro dele. Qual o tempo a mais que será necessário manter o forno ligado, na mesma potência, para que a temperatura de equilíbrio final do conjunto retorne a 50^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Enunciados e dados importantes (vou separar os dois problemas para não embaralhar):
Problema 37 — o que é pedido:
  • Determinar o tempo que a torneira deve ficar aberta para que a mistura atinja 35^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Volume inicial de água fria no tanque: \;1,8\\ \mathrm{m}^3 à temperatura \;5^\circ\mathrm{C}.
  • Água quente disponível: \;65^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão da torneira: \;100\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
  • Desprezam-se perdas de calor para o ambiente (sistema isolado).
Problema 38 — o que é pedido:
  • Determinar o tempo adicional (mantendo a mesma potência do forno) necessário para que, após inserir o corpo frio, a temperatura de equilíbrio volte a 50^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Massa de água no forno: \;3,0\\ \mathrm{kg} a 10^\circ\mathrm{C}.
  • Após ligar por 14 minutos, a água atinge 50,0^\circ\mathrm{C}.
  • Em seguida, desligam o forno e introduzem um corpo de massa \;1,0\\ \mathrm{kg}, calor específico \;0,20\\ \mathrm{cal/g}^\circ\mathrm{C}, à temperatura 0^\circ\mathrm{C}.
  • Despreza-se o calor da vasilha; considera-se que a potência fornecida pelo forno é totalmente absorvida pelos corpos (água + corpo) quando ligada.

Passo 2

Resolução didática do Problema 37 — planejamento e conversões iniciais.
Primeiro, vamos transformar tudo para unidades compatíveis e identificar as massas envolvidas. Vou usar densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m}^3 (valor padrão).
  • Volume inicial de água fria:
    V_c = 1,8\\ \mathrm{m}^3.
    Massa inicial da água fria:
    m_c = \rho V_c = 1000\cdot 1,8 = 1800\\ \mathrm{kg}.
  • Vazão dada em \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}. Converter para \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
    1\\ \mathrm{cm}^3 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3,
    então
    \dot V = 100\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s} = 100\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 1{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    Massa por segundo que entra (vazão mássica):
    \dot m = \rho\dot V = 1000\cdot 1{,}0\times 10^{-4} = 0{,}1\\ \mathrm{kg/s}.
Temperaturas: T_c=5^\circ\mathrm{C}, T_h=65^\circ\mathrm{C}, temperatura desejada T_f=35^\circ\mathrm{C}.
Explicação do método (bem didático): ao misturar água fria e água quente sem perda para o ambiente, a energia térmica total se conserva. Se adicionarmos uma massa m_h de água quente, a soma das energias (massa vezes calor específico vezes temperatura) antes e depois da mistura é a mesma. Como o calor específico da água é o mesmo para ambas as porções, ele cancela na equação final — isso simplifica muito as contas.

Passo 3

Cálculo do Problema 37 — aplicar balanço de energia e achar o tempo.
Montamos o balanço de energia (conservação):
m_c c T_c + m_h c T_h = (m_c + m_h) c T_f,
onde:
  • m_c é massa inicial de água fria,
  • m_h é a massa de água quente que precisamos adicionar,
  • c é o calor específico da água (o mesmo para todos e que iremos cancelar),
  • T_c,T_h,T_f são as temperaturas já indicadas.
Cancelando c e isolando m_h:
m_h (T_h - T_f) = m_c (T_f - T_c),
m_h = m_c\frac{T_f - T_c}{T_h - T_f}.
Substituindo números:
m_h = 1800\cdot\frac{35-5}{65-35}=1800\cdot\frac{30}{30}=1800\\ \mathrm{kg}.
Surpresa simpática: precisamos acrescentar massa igual à massa inicial (ou seja, dobrar a massa de água) para que a temperatura vá de 5^\circ\mathrm{C} a 35^\circ\mathrm{C} misturando com água a 65^\circ\mathrm{C}.
Agora, tempo necessário com vazão mássica \dot m = 0{,}1\\ \mathrm{kg/s}:
t=\frac{m_h}{\dot m}=\frac{1800}{0{,}1}=18000\\ \mathrm{s}.
Converter para unidades mais familiares:
18000\\ \mathrm{s} = \frac{18000}{60}=300\\ \mathrm{min} = 5\\ \mathrm{h}.
Comentário prático: isso é intuitivo porque cada kg de água quente a 65^\circ ao se misturar com 1 kg a 5^\circ dá exatamente 35^\circ (média aritmética, já que 65 - 35 = 35 - 5). Então para elevar os 1800\\ \mathrm{kg} iniciais até 35^\circ precisamos acrescentar mais 1800\\ \mathrm{kg}, e com 0{,}1\\ \mathrm{kg/s} isso dá 18000\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Resolução didática do Problema 38 — entender o que se pede e definir estratégia.
Objetivo: achar o tempo adicional, com mesma potência do forno, para que depois de inserir o corpo frio a temperatura de equilíbrio volte a 50^\circ\mathrm{C}.
Raciocínio físico simples e importante (explico devagar): logo antes de inserir o corpo, a água está a 50^\circ\mathrm{C}. Se, imediatamente após inserir o corpo, eu religar o forno com a mesma potência, o que preciso da fonte (forno) para, no final, ter todo o sistema (água + corpo) a 50^\circ\mathrm{C}? A variação total de energia que o forno precisa fornecer é igual ao aumento de energia interna do conjunto do estado inicial (água a 50^\circ, corpo a 0^\circ) para o estado final (água a 50^\circ, corpo a 50^\circ). Note que a água começa e termina a 50^\circ, então a energia líquida necessária para a água é zero; a energia necessária é apenas a de aquecer o corpo de 0^\circ para 50^\circ.
Para calcular o tempo, primeiro determinamos a potência do forno a partir do aquecimento anterior.

Passo 5

Cálculos do Problema 38 — potência do forno e tempo adicional.
  1. Calcular energia absorvida pela água no aquecimento inicial (de 10^\circ para 50^\circ):
  • Usei unidades de calor (calorias) porque o calor específico do corpo foi dado em \mathrm{cal/g}^\circ\mathrm{C}.
Massa da água: \;3{,}0\\ \mathrm{kg}=3000\\ \mathrm{g}.
Calor específico da água: c_w=1\\ \mathrm{cal/g}^\circ\mathrm{C} (valor padrão).
Variação de temperatura da água: \Delta T_w = 50-10 = 40^\circ\mathrm{C}.
Energia absorvida pela água:
Q_w = m_w c_w \Delta T_w = 3000\cdot 1\cdot 40 = 120000\\ \mathrm{cal}.
Tempo gasto para esse aquecimento: 14 minutos =14\cdot 60=840\\ \mathrm{s}.
Potência média absorvida pelo sistema (forno → água):
P = \frac{Q_w}{t}=\frac{120000}{840}=\frac{1000}{7}\\ \mathrm{cal/s}\approx 142{,}857\\ \mathrm{cal/s}.
  1. Energia necessária para aquecer o corpo (de 0^\circ para 50^\circ):
Massa do corpo: 1{,}0\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}.
Calor específico do corpo: c_b=0{,}20\\ \mathrm{cal/g}^\circ\mathrm{C}.
Variação de temperatura do corpo: \Delta T_b = 50-0 = 50^\circ\mathrm{C}.
Energia necessária:
Q_b = m_b c_b \Delta T_b = 1000\cdot 0{,}20\cdot 50 = 10000\\ \mathrm{cal}.
Observação didática: não adicionamos a energia que a água poderia fornecer ao corpo porque estamos considerando que, ao religar o forno, a potência do forno é a única fonte que estamos contabilizando para devolver o sistema a 50^\circ. Outra maneira de ver: o estado inicial (imediatamente após inserir o corpo e religar) tem energia total do sistema igual à energia da água a 50^\circ mais a do corpo a 0^\circ. O estado final pedido é água a 50^\circ e corpo a 50^\circ. A diferença de energia é exatamente Q_b.
  1. Tempo adicional necessário com potência P:
t_{\text{ad}}=\frac{Q_b}{P}=\frac{10000}{1000/7}=10000\cdot\frac{7}{1000}=70\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos e segundos:
70\\ \mathrm{s}=1\\ \mathrm{min}\\\ 10\\ \mathrm{s}.

Resposta

  1. t = 18000\\ \mathrm{s} = 300\\ \mathrm{min} = 5\\ \mathrm{h}.
  2. t_{\text{ad}} = 70\\ \mathrm{s} = 1\\ \mathrm{min}\\\ 10\\ \mathrm{s}.

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