37 Em um tanque, há
de água a
. Se dispõe de água a
que será despejada no tanque por uma torneira a uma taxa de
. Determine o tempo que a torneira deve permanecer aberta para que a temperatura da mistura atinja
, desprezando todas as influências extremas no sistema.
38 Num forno de micro-ondas é colocada uma vasilha contendo
de água a
. Após manter o forno ligado por 14 minutos, verifica-se que a água atinge a temperatura de
. O forno é então desligado e dentro da vasilha com água é colocado um corpo com massa de
e calor específico igual a
, à temperatura inicial de
. Despreze o calor necessário para aquecer a vasilha e considere que a potência fornecida pelo fogo é continuamente absorvida pelos corpos dentro dele. Qual o tempo a mais que será necessário manter o forno ligado, na mesma potência, para que a temperatura de equilíbrio final do conjunto retorne a
?
Passo 1
Enunciados e dados importantes (vou separar os dois problemas para não embaralhar):
Problema 37 — o que é pedido:
- Determinar o tempo que a torneira deve ficar aberta para que a mistura atinja
.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Volume inicial de água fria no tanque:
à temperatura . - Água quente disponível:
. - Vazão da torneira:
. - Desprezam-se perdas de calor para o ambiente (sistema isolado).
Problema 38 — o que é pedido:
- Determinar o tempo adicional (mantendo a mesma potência do forno) necessário para que, após inserir o corpo frio, a temperatura de equilíbrio volte a
.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Massa de água no forno:
a . - Após ligar por
minutos, a água atinge . - Em seguida, desligam o forno e introduzem um corpo de massa
, calor específico , à temperatura . - Despreza-se o calor da vasilha; considera-se que a potência fornecida pelo forno é totalmente absorvida pelos corpos (água + corpo) quando ligada.
Passo 2
Resolução didática do Problema 37 — planejamento e conversões iniciais.
Primeiro, vamos transformar tudo para unidades compatíveis e identificar as massas envolvidas. Vou usar densidade da água
(valor padrão).
-
Volume inicial de água fria:Massa inicial da água fria:
-
Vazão dada em
. Converter para : entãoMassa por segundo que entra (vazão mássica):
Temperaturas:
,
, temperatura desejada
.
Explicação do método (bem didático): ao misturar água fria e água quente sem perda para o ambiente, a energia térmica total se conserva. Se adicionarmos uma massa
de água quente, a soma das energias (massa vezes calor específico vezes temperatura) antes e depois da mistura é a mesma. Como o calor específico da água é o mesmo para ambas as porções, ele cancela na equação final — isso simplifica muito as contas.
Passo 3
Cálculo do Problema 37 — aplicar balanço de energia e achar o tempo.
Montamos o balanço de energia (conservação):
onde:
-
é massa inicial de água fria, -
é a massa de água quente que precisamos adicionar, -
é o calor específico da água (o mesmo para todos e que iremos cancelar), -
são as temperaturas já indicadas.
Cancelando
e isolando
:
Substituindo números:
Surpresa simpática: precisamos acrescentar massa igual à massa inicial (ou seja, dobrar a massa de água) para que a temperatura vá de
a
misturando com água a
.
Agora, tempo necessário com vazão mássica
:
Converter para unidades mais familiares:
Comentário prático: isso é intuitivo porque cada kg de água quente a
ao se misturar com 1 kg a
dá exatamente
(média aritmética, já que
). Então para elevar os
iniciais até
precisamos acrescentar mais
, e com
isso dá
.
Passo 4
Resolução didática do Problema 38 — entender o que se pede e definir estratégia.
Objetivo: achar o tempo adicional, com mesma potência do forno, para que depois de inserir o corpo frio a temperatura de equilíbrio volte a
.
Raciocínio físico simples e importante (explico devagar): logo antes de inserir o corpo, a água está a
. Se, imediatamente após inserir o corpo, eu religar o forno com a mesma potência, o que preciso da fonte (forno) para, no final, ter todo o sistema (água + corpo) a
? A variação total de energia que o forno precisa fornecer é igual ao aumento de energia interna do conjunto do estado inicial (água a
, corpo a
) para o estado final (água a
, corpo a
). Note que a água começa e termina a
, então a energia líquida necessária para a água é zero; a energia necessária é apenas a de aquecer o corpo de
para
.
Para calcular o tempo, primeiro determinamos a potência do forno a partir do aquecimento anterior.
Passo 5
Cálculos do Problema 38 — potência do forno e tempo adicional.
- Calcular energia absorvida pela água no aquecimento inicial (de
para ):
- Usei unidades de calor (calorias) porque o calor específico do corpo foi dado em
.
Massa da água:
.
Calor específico da água:
(valor padrão).
Variação de temperatura da água:
.
Energia absorvida pela água:
Tempo gasto para esse aquecimento:
minutos
.
Potência média absorvida pelo sistema (forno → água):
- Energia necessária para aquecer o corpo (de
para ):
Massa do corpo:
.
Calor específico do corpo:
.
Variação de temperatura do corpo:
.
Energia necessária:
Observação didática: não adicionamos a energia que a água poderia fornecer ao corpo porque estamos considerando que, ao religar o forno, a potência do forno é a única fonte que estamos contabilizando para devolver o sistema a
. Outra maneira de ver: o estado inicial (imediatamente após inserir o corpo e religar) tem energia total do sistema igual à energia da água a
mais a do corpo a
. O estado final pedido é água a
e corpo a
. A diferença de energia é exatamente
.
- Tempo adicional necessário com potência
:
Converter para minutos e segundos: