12 - (3.6 Levenspiel) Após 8 minutos em um reator em batelada, um reagente (
) é
convertido; após 18 minutos, a conversão é de
. Encontre a equação de taxa que representa esta reação.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a equação de taxa que representa a reação:
- Concentração inicial:
. - Após
minutos a conversão é , isto é . - Após
minutos a conversão é , isto é . - Pergunta: encontrar a equação de taxa (isto é, a lei de velocidade com a constante e a ordem) que descreve a reação, consistente com esses dados.
Passo 2
Definições e relação entre concentração e conversão (parte didática, passo a passo):
- Conversão
é a fração consumida do reagente . A relação entre concentração e conversão é
Aqui
é a concentração de
num tempo
,
a concentração inicial e
a conversão (número entre
e
).
- A lei de velocidade que vamos testar tem a forma de uma lei de potência (forma muito comum em provas):
onde
é a constante de velocidade e
é a ordem da reação (número real). Vou explicar cada símbolo:
é a variação temporal da concentração; o sinal negativo aparece porque
diminui com o tempo;
determina a rapidez da reação e tem unidades que dependem de
;
diz como a taxa depende da concentração.
Passo 3
Passo de modelagem: escrever a equação diferencial em termos de
(isso facilita usar os dados de conversão).
- Como
, temos . - Substituindo a lei de velocidade:
pois
. Essa é uma equação separável em
e
.
Passo 4
Integrar a equação para ordem geral
(didática: mostrar a integração passo a passo).
- Se
, separamos e integramos:
- Fazendo a integral do lado esquerdo (substituição
, ):
- Igualando ao lado direito:
Essa é a forma integrada geral (para
) que relaciona
e
.
Passo 5
Usar os dois pontos experimentais para determinar
. (Aqui uso
, então
numericamente, mas manterei atenção às unidades depois.)
- Para
e temos duas equações:
- Dividindo a segunda pela primeira para eliminar
:
- Substituir os números
e , e :
Passo 6
Resolver a equação para
(mostrando o raciocínio numérico simples).
- Defina
. A equação fica
- Testando valores simples: se
(isto é, ), então
Substituindo:
que satisfaz exatamente a igualdade. Logo
é solução, portanto
Conclusão: a reação é de segunda ordem (
).
Passo 7
Determinar a constante
e verificar unidades (muito importante em prova).
- Para
a forma integrada obtida em Passo 4 simplifica. Substituindo em
temos
e
, então a expressão dá
- Isolando
:
- Usando
e, por exemplo, o ponto :
- Unidades: para uma reação de segunda ordem a constante tem unidades
(porque tem unidades e ). Portanto
- Verificação com o outro ponto
:
confirmação ok.
Passo 8
Escrever a equação de taxa final e sua forma integrada (para você usar direto na prova).
- Equação diferencial (forma usual de lei de velocidade):
- Forma integrada (segunda ordem, útil para calcular
em função de ):
Com
e
essa última pode ser usada diretamente para prever
ou
em qualquer
.