12 - (3.6 Levenspiel) Após 8 minutos em um reator em batelada, um reagente ( \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} ) é 80 \% convertido; após 18 minutos, a conversão é de 90 \%. Encontre a equação de taxa que representa esta reação.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a equação de taxa que representa a reação:
  • Concentração inicial: C_{A0}=1\\ \mathrm{mol/L}.
  • Após 8 minutos a conversão é 80\%, isto é X(8)=0{,}80.
  • Após 18 minutos a conversão é 90\%, isto é X(18)=0{,}90.
  • Pergunta: encontrar a equação de taxa (isto é, a lei de velocidade com a constante e a ordem) que descreve a reação, consistente com esses dados.

Passo 2

Definições e relação entre concentração e conversão (parte didática, passo a passo):
  • Conversão X é a fração consumida do reagente A. A relação entre concentração e conversão é
C_A = C_{A0}\,(1-X).
Aqui C_A é a concentração de A num tempo t, C_{A0} a concentração inicial e X a conversão (número entre 0 e 1).
  • A lei de velocidade que vamos testar tem a forma de uma lei de potência (forma muito comum em provas):
-\frac{dC_A}{dt} = k\,C_A^n,
onde k é a constante de velocidade e n é a ordem da reação (número real). Vou explicar cada símbolo: dC_A/dt é a variação temporal da concentração; o sinal negativo aparece porque C_A diminui com o tempo; k determina a rapidez da reação e tem unidades que dependem de n; n diz como a taxa depende da concentração.

Passo 3

Passo de modelagem: escrever a equação diferencial em termos de X (isso facilita usar os dados de conversão).
  • Como X = (C_{A0}-C_A)/C_{A0}, temos dX/dt = -\dfrac{1}{C_{A0}}\dfrac{dC_A}{dt}.
  • Substituindo a lei de velocidade:
\frac{dX}{dt} = \frac{k\,C_A^n}{C_{A0}} = k\,C_{A0}^{\,n-1}\,(1-X)^n,
pois C_A = C_{A0}(1-X). Essa é uma equação separável em X e t.

Passo 4

Integrar a equação para ordem geral n (didática: mostrar a integração passo a passo).
  • Se n\neq 1, separamos e integramos:
\int_{0}^{X} (1-X')^{-n}\,dX' = \int_{0}^{t} k\,C_{A0}^{\,n-1}\,dt'.
  • Fazendo a integral do lado esquerdo (substituição u=1-X', du=-dX'):
\int_{0}^{X} (1-X')^{-n}\,dX' = \frac{1}{1-n}\Bigl(1-(1-X)^{\,1-n}\Bigr).
  • Igualando ao lado direito:
\frac{1}{1-n}\Bigl(1-(1-X)^{\,1-n}\Bigr) = k\,C_{A0}^{\,n-1}\,t.
Essa é a forma integrada geral (para n\neq 1) que relaciona X e t.

Passo 5

Usar os dois pontos experimentais para determinar n. (Aqui uso C_{A0}=1\\ \mathrm{mol/L}, então C_{A0}^{\,n-1}=1^{\,n-1}=1 numericamente, mas manterei atenção às unidades depois.)
  • Para (t_1,X_1)=(8,\;0{,}80) e (t_2,X_2)=(18,\;0{,}90) temos duas equações:
\frac{1}{1-n}\Bigl(1-(1-X_1)^{\,1-n}\Bigr)=k\,t_1, \qquad \frac{1}{1-n}\Bigl(1-(1-X_2)^{\,1-n}\Bigr)=k\,t_2.
  • Dividindo a segunda pela primeira para eliminar k:
\frac{1-(1-X_2)^{\,1-n}}{1-(1-X_1)^{\,1-n}}=\frac{t_2}{t_1}.
  • Substituir os números (1-X_1)=0{,}2 e (1-X_2)=0{,}1, e \dfrac{t_2}{t_1}=\dfrac{18}{8}=2{,}25:
\frac{1-(0{,}1)^{\,1-n}}{1-(0{,}2)^{\,1-n}} = 2{,}25.

Passo 6

Resolver a equação para n (mostrando o raciocínio numérico simples).
  • Defina m=1-n. A equação fica
\frac{1-(0{,}1)^{m}}{1-(0{,}2)^{m}} = 2{,}25.
  • Testando valores simples: se m=-1 (isto é, n=1-(-1)=2), então
(0{,}1)^{m}=(0{,}1)^{-1}=10,\qquad (0{,}2)^{m}=(0{,}2)^{-1}=5.
Substituindo:
\frac{1-10}{1-5}=\frac{-9}{-4}=2{,}25,
que satisfaz exatamente a igualdade. Logo m=-1 é solução, portanto
n = 1 - m = 1 - (-1) = 2.
Conclusão: a reação é de segunda ordem ( n=2).

Passo 7

Determinar a constante k e verificar unidades (muito importante em prova).
  • Para n=2 a forma integrada obtida em Passo 4 simplifica. Substituindo n=2 em
\frac{1}{1-n}\Bigl(1-(1-X)^{\,1-n}\Bigr)=k\,C_{A0}^{\,n-1}\,t
temos 1/(1-2)=-1 e 1-n=-1, então a expressão dá
\frac{1}{1-X}-1 = k\,C_{A0}^{\,1}\,t.
  • Isolando k:
k = \frac{\dfrac{1}{1-X}-1}{C_{A0}\,t} = \frac{X}{C_{A0}(1-X)\,t}.
  • Usando C_{A0}=1\\ \mathrm{mol/L} e, por exemplo, o ponto (t,X)=(8,\;0{,}80):
k = \frac{0{,}80}{1\cdot(1-0{,}80)\cdot 8} = \frac{0{,}80}{0{,}20\cdot 8} = \frac{0{,}80}{1{,}6} = 0{,}5.
  • Unidades: para uma reação de segunda ordem a constante tem unidades \mathrm{L/(mol\cdot min)} (porque \text{velocidade} tem unidades \mathrm{mol/(L\cdot min)} e [C_A]^2=(\mathrm{mol/L})^2). Portanto
k = 0{,}5\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}.
  • Verificação com o outro ponto (18,\;0{,}90):
k = \frac{0{,}90}{1\cdot(0{,}10)\cdot 18}=\frac{0{,}90}{1{,}8}=0{,}5,
confirmação ok.

Passo 8

Escrever a equação de taxa final e sua forma integrada (para você usar direto na prova).
  • Equação diferencial (forma usual de lei de velocidade):
-\frac{dC_A}{dt} = k\,C_A^{2},\qquad k=0{,}5\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}.
  • Forma integrada (segunda ordem, útil para calcular C_A em função de t):
\frac{1}{C_A} - \frac{1}{C_{A0}} = k\,t.
Com C_{A0}=1\\ \mathrm{mol/L} e k=0{,}5\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)} essa última pode ser usada diretamente para prever C_A ou X em qualquer t.

Resposta

-\dfrac{dC_A}{dt} = 0{,}5\;C_A^{2}\quad\left(\text{com }k=0{,}5\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}\right)

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