16 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}=y \cdot \tan x.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona a derivada
com e . - Devemos obter a família de soluções (constante de integração incluída).
- Atenção: pontos onde
tornam indefinido; a solução será válida em intervalos onde .
Passo 2
Vamos tentar separar as variáveis — isto é, escrever todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Dividindo ambos os lados por
(veremos também a solução
separadamente) e multiplicando por
, obtemos:
Explicação didática: separar variáveis significa manipular a equação diferencial para que possamos integrar cada lado em função de uma única variável. Aqui isso é possível porque o lado direito depende só de
e o esquerdo só de
.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos a primitiva de
, e do lado direito precisamos calcular
. Assim:
A integral do lado esquerdo é
Para o lado direito, escrevemos
e fazemos a substituição
, com
. Então
Portanto, após integrar:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora manipulamos a relação obtida para isolar
. Somando
em ambos os lados:
Usando a propriedade de logaritmos
, temos:
Exponenciando ambos os lados:
Definindo
, obtemos
. Eliminando o valor absoluto (absorvendo o sinal em uma constante real
), temos
onde
é qualquer constante real. Finalmente:
Observação importante: a solução constante
corresponde a
, então já está incluída na família
.
Passo 5
Verificação rápida (boa prática na prova): derivando
obtemos
e como
, isso dá
, ou seja, satisfaz a equação original. Lembre-se que essa expressão só faz sentido quando
, portanto a solução vale em intervalos onde
não se anula.