16 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}=y \cdot \tan x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=y\cdot \tan x,
e pede para encontrar a solução geral y(x). Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com y e \tan x.
  • Devemos obter a família de soluções (constante de integração incluída).
  • Atenção: pontos onde \cos x=0 tornam \tan x indefinido; a solução será válida em intervalos onde \cos x\neq0.

Passo 2

Vamos tentar separar as variáveis — isto é, escrever todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Dividindo ambos os lados por y (veremos também a solução y\equiv0 separadamente) e multiplicando por dx, obtemos:
\frac{1}{y}\,dy=\tan x\,dx.
Explicação didática: separar variáveis significa manipular a equação diferencial para que possamos integrar cada lado em função de uma única variável. Aqui isso é possível porque o lado direito depende só de x e o esquerdo só de y.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos a primitiva de \dfrac{1}{y}, e do lado direito precisamos calcular \displaystyle\int \tan x\,dx. Assim:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \tan x\,dx.
A integral do lado esquerdo é
\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|.
Para o lado direito, escrevemos \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e fazemos a substituição u=\cos x, com du=-\sin x\,dx. Então
\int \tan x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\int \frac{1}{u}\,du=-\ln|u|+C=-\ln|\cos x|+C.
Portanto, após integrar:
\ln|y|=-\ln|\cos x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora manipulamos a relação obtida para isolar y. Somando \ln|\cos x| em ambos os lados:
\ln|y|+\ln|\cos x|=C.
Usando a propriedade de logaritmos \ln a+\ln b=\ln(ab), temos:
\ln\big(|y|\;|\cos x|\big)=\ln\big(|y\cos x|\big)=C.
Exponenciando ambos os lados:
|y\cos x|=e^{C}.
Definindo A=e^{C}>0, obtemos |y\cos x|=A. Eliminando o valor absoluto (absorvendo o sinal em uma constante real K), temos
y\cos x=K,
onde K é qualquer constante real. Finalmente:
y=\frac{K}{\cos x}=K\operatorname{sec} x.
Observação importante: a solução constante y\equiv0 corresponde a K=0, então já está incluída na família y=K\operatorname{sec} x.

Passo 5

Verificação rápida (boa prática na prova): derivando y=K\operatorname{sec} x obtemos
\frac{dy}{dx}=K\operatorname{sec} x\tan x,
e como y=K\operatorname{sec} x, isso dá \dfrac{dy}{dx}=y\tan x, ou seja, satisfaz a equação original. Lembre-se que essa expressão só faz sentido quando \cos x\neq0, portanto a solução vale em intervalos onde \cos x não se anula.

Resposta

y(x)=C\operatorname{sec} x,\;C\in\mathbb{R}

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