1. 1 (F) Resolva:
\frac{d y}{d x}+y=e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{d y}{d x} + y = e^{x}.
Informações dadas:
\text{equação: }\frac{d y}{d x} + y = e^{x}.çã
Pergunta: encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação (a solução geral, já que não foi dado valor inicial).

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{d y}{d x} + P(x)\,y = Q(x).
Aqui identificamos
P(x)=1,\qquad Q(x)=e^{x}.
Explicação do que é essa forma: uma equação linear de primeira ordem tem a derivada de y somada a uma função P(x) vezes y igual a uma função força Q(x). O objetivo é encontrar uma “integrating factor” (fator integrante) que torne o lado esquerdo a derivada de um produto.

Passo 3

Definição e razão do fator integrante: queremos uma função \mu(x) tal que
\mu(x)\frac{d y}{d x} + \mu(x)P(x)y = \frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Observamos que
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu'\,y,
então precisamos que \mu'\,y=\mu P y, ou seja \mu'=\mu P. Isso dá uma equação simples para \mu:
\frac{\mu'}{\mu}=P(x)\quad\Longrightarrow\quad \ln\mu=\int P(x)\,dx.
Portanto o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.

Passo 4

Calculemos \mu(x) no nosso caso: como P(x)=1,
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Explicando: integrando 1 obtemos x, e exponenciando obtemos e^{x}. Esse \mu vai multiplicar toda a equação.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y = e^{x}\cdot e^{x}.
No lado direito usamos que e^{x}\cdot e^{x}=e^{2x}. Pelo motivo da escolha de \mu, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{2x}.
Isto é importante: transformamos a equação diferencial em uma forma integrada diretamente.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx = \int e^{2x}\,dx.
No lado esquerdo a integral da derivada é simplesmente e^{x}y. No lado direito usamos a regra de integração da exponencial: \int e^{ax}\,dx=\dfrac{1}{a}e^{ax}+C. Aqui a=2, então
e^{x}y = \frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração (número real).

Passo 7

Isolamos y dividindo ambos os lados por e^{x}:
y = \frac{1}{2}e^{2x}\cdot e^{-x} + C e^{-x}.
Simplificando e^{2x}\cdot e^{-x}=e^{x}, obtemos
y = \frac{1}{2}e^{x} + C e^{-x}.
Explicação do resultado: a solução geral é a soma de uma solução particular \tfrac{1}{2}e^{x} e da solução geral da homogênea C e^{-x}.

Passo 8

Breve verificação (útil para a prova): derivando a solução e substituindo na equação original confirmamos que ela satisfaz.
Calculemos \dfrac{dy}{dx} para y=\dfrac{1}{2}e^{x}+C e^{-x}:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}e^{x}-C e^{-x}.
Somando y teremos
\frac{dy}{dx}+y=\left(\frac{1}{2}e^{x}-C e^{-x}\right)+\left(\frac{1}{2}e^{x}+C e^{-x}\right)=e^{x},
confere com o lado direito. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+C e^{-x},\quad C\in\mathbb{R}.

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