- 1 (F) Resolva:
\frac{d y}{d x}+y=e^{x}.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Informações dadas:
Pergunta: encontrar a função
que satisfaz essa equação (a solução geral, já que não foi dado valor inicial).
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui identificamos
Explicação do que é essa forma: uma equação linear de primeira ordem tem a derivada de
somada a uma função
vezes
igual a uma função força
. O objetivo é encontrar uma “integrating factor” (fator integrante) que torne o lado esquerdo a derivada de um produto.
Passo 3
Definição e razão do fator integrante: queremos uma função
tal que
Observamos que
então precisamos que
, ou seja
. Isso dá uma equação simples para
:
Portanto o fator integrante é
Passo 4
Calculemos
no nosso caso: como
,
Explicando: integrando
obtemos
, e exponenciando obtemos
. Esse
vai multiplicar toda a equação.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
No lado direito usamos que
. Pelo motivo da escolha de
, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Isto é importante: transformamos a equação diferencial em uma forma integrada diretamente.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral da derivada é simplesmente
. No lado direito usamos a regra de integração da exponencial:
. Aqui
, então
onde
é a constante de integração (número real).
Passo 7
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando
, obtemos
Explicação do resultado: a solução geral é a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
.
Passo 8
Breve verificação (útil para a prova): derivando a solução e substituindo na equação original confirmamos que ela satisfaz.
Calculemos para
:
Calculemos
Somando
teremos
confere com o lado direito. Portanto a solução está correta.