*-12 O módulo J da densidade de corrente em um certo fio cilíndrico de raio R=2,00 mm é dado por J=(3,00 times 10^5) r^2, com J em ampères por metro quadrado e a distância radial r em metros Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio de raio interno 0.900 R e raio externo R ?

Passo 1

O enunciado dá a densidade de corrente radial em um fio cilíndrico de raio R=2,00 mm pela lei
J(r)=l(3,00times10^5r),r^2,
onde J está em ampères por metro quadrado e r em metros.
Pede-se a corrente que atravessa o anel de raio interno r1=0,900,R e raio externo r2=R.
Conteúdo: integração de densidade de corrente em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A corrente que atravessa a região entre r1 e r2 é dada por
I=integral duplaanelJ,dA
Em coordenadas cilíndricas com simetria azimutal, dA=2pi,r,dr, logo
I=integralr1^r2J(r),2pi,r,dr

Passo 3

Substituindo J(r)=3,00times10^5,r^2, temos
I =2pi,(3,00times10^5)integralr1^r2r^3,dr =2pi,(3,00times10^5) l[tfracr^44r]r1^r2

Passo 4

Calculando numericamente:
R=2,00times10^-3 m, r1=0,900,R=1,80times10^-3 m, r2=R=2,00times10^-3 m
Então
r2^4=(2,00times10^-3)^4=1,6times10^-11, r1^4=(1,80times10^-3)^4=1,04976times10^-11,
De<al(r^4/4r) =1,6-1,049764times10^-11 =1,3756times10^-12
Logo
I =2pi,(3,00times10^5)times1,3756times10^-12 approx2,59times10^-6 A

Resposta

A corrente que passa pelo anel é aproximadamente
2,59times10^-6 A

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