Prob. 51 (Halliday): Duas ondas são geradas em uma corda com 3 m de comprimento para produzir uma onda estacionária de três meios comprimentos de onda com uma amplitude de 1 cm . A velocidade da onda é 100 m / s. A equação de uma das ondas é da forma y(x, t)= ym sen(k x+v t). Na equação da outra onda, determine (a) ym, (b) k, (c) v e (d) o sinal que precede v.

Passo 1

O enunciado dá uma corda de comprimento L=3 m vibrando em modo estacionário com três meios comprimentos de onda e amplitude de crista Aest=1 cm. A velocidade de propagação da onda é u=100 m/s. Cada onda viajante tem a forma
y(x,t)=ym,sinl(kx+v,tr)
e queremos achar (a) ym, (b) número de onda k, (c) frequência angular v, e (d) o sinal que precede v na outra onda.

Passo 2

Como há três meios comprimentos de onda ao longo da corda, vale
3;l(tfraclambda2r)=L,
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lambda = 2L3 = 2cdot33 = 2 m

Passo 3

O número de onda é dado por
k = 2pilambda = 2pi2 = pi rad/m

Passo 4

A frequência f satisfaz u = f,lambda, então
f = ulambda = 1002 = 50 Hz
A frequência angular é
v = omega = 2pi f = 2picdot50 = 100pi rad/s

Passo 5

Na onda estacionária a amplitude de crista é Aest=2,ym, de modo que
ym = Aest2 = 1 cm2 = 0,5 cm = 0,005 m

Passo 6

Para formar a onda estacionária as duas ondas viajam em sentidos opostos. Se uma é sin(kx+v,t), a outra deve ter o sinal contrário no termo de tempo, ou seja sin(kx - v,t).

Resposta

(a) ym=0,005 m
(b) k=pi rad/m
(c) v=100pi rad/s
(d) o sinal é negativo, isto é, a segunda onda é sin(kx - v,t).

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