Considere W=(x, y, z, w, t) in R^5 ; x-y+z=0, x+y+w=0
Determine uma base de W.

Passo 1

O espaço WsubsetR^5 é dado pelas soluções do sistema homogêneo
x - y + z = 0, x + y + w = 0
O conteúdo é resolução de sistemas lineares para parametrizar o núcleo de uma aplicação linear e extrair uma base.

Passo 2

Escrevendo as duas equações:
x - y + z = 0 Longrightarrow x = y - z,
x + y + w = 0 Longrightarrow x = -,y - w
Igualando as duas expressões de x obtemos
y - z = -,y - w Longrightarrow 2y = z - w Longrightarrow y = z - w2

Passo 3

Substituindo y em x = y - z temos
x = z - w2 - z = -z + w2
Portanto, escolhendo como variáveis livres
z = a, w = b, t = c,
temos
x = -a+b2, y = a-b2, z = a, w = b, t = c

Passo 4

Escrevendo o vetor genérico (x,y,z,w,t) em função de (a,b,c):
(x,y,z,w,t) = al(-tfrac12,;tfrac12,;1,;0,;0r) + bl(-tfrac12,;-tfrac12,;0,;1,;0r) + cl(0,;0,;0,;0,;1r)

Passo 5

Para evitar frações, podemos tomar combinações a'=2a e b'=2b. Isso gera os vetores
v1 = (-1,,1,,2,,0,,0), v2 = (-1,,-1,,0,,2,,0), v3 = (0,,0,,0,,0,,1),
que são claramente lineares independentes e geram todas as soluções.

Resposta

Uma base de W é, por exemplo,
,(-1,,1,,2,,0,,0),;(-1,,-1,,0,,2,,0),;(0,,0,,0,,0,,1)

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