*(12) Mostre que as superfícies dadas pelas equações
são ortogonais em todo ponto de interseção e, além disso, faça um esboço das superfícies destacando a curva de interseção.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies em
:
que é um cone duplo, e
que é a esfera unitária.
Precisamos mostrar que e
são ortogonais em todo ponto de interseção (ou seja, que seus planos tangentes são perpendiculares), e depois descrever/esboçar a curva de interseção.
Precisamos mostrar que
Passo 2
Para verificar ortogonalidade de superfícies definidas implicitamente, usamos seus gradientes como vetores normais. Definimos
Então
Passo 3
O produto escalar dos normais é
Mas em todo ponto de interseção vale
, logo
Isto mostra que os planos tangentes a
e
são perpendiculares em cada ponto comum, ou seja, as superfícies são ortogonais.
Passo 4
Para achar a curva de interseção, resolvemos simultaneamente
Substituindo
na segunda equação dá
Logo a interseção é a união de duas circunferências de raio
nos planos
e
. Uma parametrização é
Passo 5
Esboço das superfícies e curva de interseção:
- A esfera
é o globo de raio 1. - O cone
abre para cima e para baixo com vértice na origem e meia-ângulo de . - A curva de interseção são duas circunferências horizontais, uma em
e outra em , cada qual de raio .
Resposta
As superfícies são ortogonais porque seus gradientes satisfazem
nos pontos de interseção. A curva de interseção é dada por
isto é, duas circunferências de raio
nos planos
.