*(12) Mostre que as superfícies dadas pelas equações
z^2=x^2+y^2 e x^2+y^2+z^2=1
são ortogonais em todo ponto de interseção e, além disso, faça um esboço das superfícies destacando a curva de interseção.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies em R^3:
S1:;z^2=x^2+y^2,
que é um cone duplo, e
S2:;x^2+y^2+z^2=1,
que é a esfera unitária.
Precisamos mostrar que S1 e S2 são ortogonais em todo ponto de interseção (ou seja, que seus planos tangentes são perpendiculares), e depois descrever/esboçar a curva de interseção.

Passo 2

Para verificar ortogonalidade de superfícies definidas implicitamente, usamos seus gradientes como vetores normais. Definimos
F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2, G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1
Então
nabla F=(2x,;2y,;-2z), nabla G=(2x,;2y,;2z)

Passo 3

O produto escalar dos normais é
nabla Fcdotnabla G =2xcdot2x+2ycdot2y+(-2z)cdot2z =4l(x^2+y^2-z^2r)
Mas em todo ponto de interseção vale z^2=x^2+y^2, logo
nabla Fcdotnabla G =4l(x^2+y^2-z^2r)=0
Isto mostra que os planos tangentes a S1 e S2 são perpendiculares em cada ponto comum, ou seja, as superfícies são ortogonais.

Passo 4

Para achar a curva de interseção, resolvemos simultaneamente
z^2=x^2+y^2, x^2+y^2+z^2=1
Substituindo z^2=x^2+y^2 na segunda equação dá
2(x^2+y^2)=1 Longrightarrow x^2+y^2=tfrac12, z^2=tfrac12
Logo a interseção é a união de duas circunferências de raio 1/raiz2 nos planos z=+1/raiz2 e z=-1/raiz2. Uma parametrização é
x=tfrac1raiz2cos t, y=tfrac1raiz2sin t, z=pmtfrac1raiz2, tin[0,2pi)

Passo 5

Esboço das superfícies e curva de interseção:
  • A esfera S2 é o globo de raio 1.
  • O cone S1 abre para cima e para baixo com vértice na origem e meia-ângulo de 45^circ.
  • A curva de interseção são duas circunferências horizontais, uma em z=+1/raiz2 e outra em z=-1/raiz2, cada qual de raio 1/raiz2.

Resposta

As superfícies são ortogonais porque seus gradientes satisfazem
nabla Fcdotnabla G =4l(x^2+y^2-z^2r)=0
nos pontos de interseção. A curva de interseção é dada por
x^2+y^2=tfrac12, z=pmtfrac1raiz2,
isto é, duas circunferências de raio 1/raiz2 nos planos z=pm1/raiz2.

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