1. (1-3y+x) d yd x+y=3x-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de 1ª ordem
l(1 - 3y + xr)dydx + y = 3x - 1
e pede a solução geral. Vamos usar o método de equações exatas, reescrevendo-a na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificando se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por dx e levando todos os termos para o mesmo lado, obtemos
l(y - 3x + 1r),dx + l(1 - 3y + xr),dy = 0
Aqui
M(x,y) = y - 3x + 1, N(x,y) = 1 - 3y + x
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1,
logo a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe F(x,y) tal que
Fx = M(x,y)
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y) = integrall(y - 3x + 1r),dx = xy + x - 3lnlvert xrvert + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração dependente só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
Fy = N(x,y)
Como
Fy = partialpartial yl(xy + x - 3lnlvert xrvert + h(y)r) = x + h'(y),
igualamos a N(x,y)=1 - 3y + x e obtemos
x + h'(y) = x + 1 - 3y Longrightarrow h'(y) = 1 - 3y
Integrando em y:
h(y) = integrall(1 - 3yr),dy = y - 3lnlvert yrvert

Passo 5

Portanto a função potencial é
F(x,y) = xy + x - 3lnlvert xrvert + y - 3lnlvert yrvert
A solução geral implícita vem de
F(x,y) = C,
ou seja
xy + x + y - 3lnlvert xrvert - 3lnlvert yrvert = C

Resposta

xy + x + y - 3lnlvert xrvert - 3lnlvert yrvert = C,
onde C é constante de integração.

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