*(15) Dada a equação
onde
e
são constantes, determine as constantes
e
de tal modo que, ao usarmos a mudança de variáveis
e
, a expressão acima resulta em
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial parcial de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede para achar constantes
e
tais que, sob a mudança de variáveis
a equação se reduza à forma canônica
O conteúdo aqui é o processo de transformação canônica de uma EDP linear de segunda ordem, eliminando os termos de derivadas puras.
Passo 2
Expressamos os operadoras parciais em
via
. Por regras da derivada em variáveis compostas:
Passo 3
Calculamos as segundas derivadas mistas em termos de
e
:
Passo 4
Substituindo na EDP original e agrupando os coeficientes de
,
e
, obtemos
Para reduzir a equação apenas ao termo misto
, exigimos que os coeficientes de
e
sejam zero:
Passo 5
As equações acima são quadráticas em
e
, idênticas à
Pelos teoremas de Bhaskara/Vieta, as raízes são
Logo, basta escolher
ou vice-versa, para que as condições de eliminação de
e
sejam satisfeitas.
Passo 6
Com essas escolhas, o coeficiente de
fica não-nulo (desde que
), e podemos dividir a equação por esse fator constante, restando