*(15) Dada a equação
A partial^2 zpartial x^2+2 B partial^2 zpartial^2 x partial y+C partial^2 zpartial y^2=0
onde A, B e C são constantes, determine as constantes S e K de tal modo que, ao usarmos a mudança de variáveis t=x+S y e u=x+K y, a expressão acima resulta em
partial^2 zpartial u partial t=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial parcial de segunda ordem com coeficientes constantes
A,partial^2zpartial x^2 ;+;2B,partial^2zpartial x,partial y;+;C,partial^2zpartial y^2=0
e pede para achar constantes S e K tais que, sob a mudança de variáveis
t = x + S,y, u = x + K,y,
a equação se reduza à forma canônica
partial^2zpartial u,partial t=0
O conteúdo aqui é o processo de transformação canônica de uma EDP linear de segunda ordem, eliminando os termos de derivadas puras.

Passo 2

Expressamos os operadoras parciais em (x,y) via (t,u). Por regras da derivada em variáveis compostas:
partialpartial x ;=;partial tpartial x,partialpartial t + partial upartial x,partialpartial u =partialpartial t+partialpartial u,
partialpartial y =partial tpartial y,partialpartial t+partial upartial y,partialpartial u =S,partialpartial t+K,partialpartial u

Passo 3

Calculamos as segundas derivadas mistas em termos de partialt e partialu:
partial^2zpartial x^2 =(partialt+partialu)^2z =partialttz+2,partialtuz+partialuuz,
partial^2zpartial y^2 =(S,partialt+K,partialu)^2z =S^2,partialttz+2SK,partialtuz+K^2,partialuuz,
partial^2zpartial x,partial y =(partialt+partialu)(S,partialt+K,partialu)z =S,partialttz+(S+K),partialtuz+K,partialuuz

Passo 4

Substituindo na EDP original e agrupando os coeficientes de partialttz, partialtuz e partialuuz, obtemos
l(A+2B,S+C,S^2r)partialttz + 2l(A+B(S+K)+C,S,Kr)partialtuz + l(A+2B,K+C,K^2r)partialuuz =0
Para reduzir a equação apenas ao termo misto partialtuz, exigimos que os coeficientes de partialttz e partialuuz sejam zero:
A+2B,S+C,S^2=0, A+2B,K+C,K^2=0

Passo 5

As equações acima são quadráticas em S e K, idênticas à
C,z^2+2B,z + A = 0
Pelos teoremas de Bhaskara/Vieta, as raízes são
z = -2B pm raiz4B^2-4AC2C =-B pm raizB^2-ACC
Logo, basta escolher
S=-B+raizB^2-ACC, K=-B-raizB^2-ACC,
ou vice-versa, para que as condições de eliminação de partialttz e partialuuz sejam satisfeitas.

Passo 6

Com essas escolhas, o coeficiente de partialtuz fica não-nulo (desde que B^2-ACneq0), e podemos dividir a equação por esse fator constante, restando
partial^2zpartial u,partial t=0

Resposta

S,;K são as raízes de C,z^2+2B,z+A=0, S,K = -BpmraizB^2-ACC ãí

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