Seja
g(x)=c -x^2 se x<-1 (x+2)^2 se x>-1
a) Encontre lim x 1^- g(x) e lim x -1^+ g(x).
b) Existe lim x -1 g(x) ?
c) Esboce o gráfico de g.

Passo 1

O enunciado dá a função
Pede:
a) .
b) Se existe.
c) Esboço do gráfico de .
Vamos usar conceitos de limite de funções e comportamento de polinômios para resolver.

Passo 2

Cálculo de limxto1^-g(x):
Como 1^->-1, para x perto de 1 pela esquerda cai na região x>-1, onde
g(x)=(x+2)^2
Logo
limxto1^-g(x) =limxto1^-(x+2)^2 =(1+2)^2 =9

Passo 3

Cálculo de limxto-1^+g(x):
Ao nos aproximarmos de -1 pela direita, ainda temos x>-1, então vale
g(x)=(x+2)^2
Substituindo x=-1:
limxto-1^+g(x) =limxto-1^+(x+2)^2 =( -1+2 )^2 =1

Passo 4

Análise de limxto-1g(x):
– Limite à esquerda ( xto-1^-): usa-se g(x)=-x^2, logo
limxto-1^-g(x) =-(-1)^2 =-1
– Limite à direita já vimos que é 1.
Como -1neq1, os limites laterais são diferentes, então não existe limxto-1g(x).

Passo 5

Esboço do gráfico de g:
Para x< -1 temos a parábola voltada para baixo y=-x^2.
Para x> -1 temos a parábola voltada para cima y=(x+2)^2 (vértice em (-2,0)).
Em x=-1 não há valor definido, mas ficam dois furos:
– Em x=-1, yto-1 pela esquerda (furo em (-1,-1)).
– Em x=-1, yto1 pela direita (furo em (-1,1)).

Resposta

a) limxto1^-g(x)=9 e limxto-1^+g(x)=1.
b) Não existe limxto-1g(x).
c) Gráfico: duas parábolas separadas em x=-1, com furos em (-1,-1) e (-1,1).

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