18^circ ) Justifique porque o conjunto dos números reais é um corpo.

Passo 1

O enunciado pede para justificar que o conjunto dos números reais R, com as operações usuais de adição e multiplicação, forma um corpo. O conteúdo é teoria de estruturas algébricas: definimos corpo como um conjunto em que
  1. (R,+) é um grupo abeliano,
  2. (Rsetminus0,cdot) é um grupo abeliano,
  3. a multiplicação é distributiva sobre a adição.

Passo 2

Verificamos que (R,+) é um grupo abeliano:
1. Fechamento: se a,binR então a+binR por definição de soma de reais.
2. Associatividade: vale (a+b)+c = a+(b+c) para todos a,b,cinR.
3. Neutro aditivo: existe 0inR tal que a+0=a para todo a.
4. Inverso aditivo: para cada ainR existe -ainR com a+(-a)=0.
5. Comutatividade: a+b=b+a para todos a,binR.

Passo 3

Verificamos que (Rsetminus0,cdot) é um grupo abeliano:
1. Fechamento: se a,binRsetminus0 então acdot binRsetminus0, pois o produto de não-zero é não-zero.
2. Associatividade: (acdot b)cdot c = acdot (bcdot c) para todos a,b,cneq0.
3. Neutro multiplicativo: existe 1inR, 1neq0, tal que acdot1 = a.
4. Inverso multiplicativo: para cada aneq0 existe a^-1inR com acdot a^-1=1.
5. Comutatividade: acdot b=bcdot a para todos a,bneq0.

Passo 4

A multiplicação é distributiva sobre a adição, ou seja, para quaisquer a,b,cinR vale
acdot(b+c) ;=; acdot b ;+; acdot c

Resposta

Como verificamos que (R,+) e (Rsetminus0,cdot) são grupos abelianos e que a multiplicação distribui sobre a adição, concluímos que R é um corpo.

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