) Justifique porque o conjunto dos números reais é um corpo.
Passo 1
O enunciado pede para justificar que o conjunto dos números reais
, com as operações usuais de adição e multiplicação, forma um corpo. O conteúdo é teoria de estruturas algébricas: definimos corpo como um conjunto em que
-
é um grupo abeliano, -
é um grupo abeliano, - a multiplicação é distributiva sobre a adição.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano:
1. Fechamento: se então
por definição de soma de reais.
2. Associatividade: vale para todos
.
3. Neutro aditivo: existe tal que
para todo
.
4. Inverso aditivo: para cada existe
com
.
5. Comutatividade: para todos
.
1. Fechamento: se
2. Associatividade: vale
3. Neutro aditivo: existe
4. Inverso aditivo: para cada
5. Comutatividade:
Passo 3
Verificamos que
é um grupo abeliano:
1. Fechamento: se então
, pois o produto de não-zero é não-zero.
2. Associatividade: para todos
.
3. Neutro multiplicativo: existe ,
, tal que
.
4. Inverso multiplicativo: para cada existe
com
.
5. Comutatividade: para todos
.
1. Fechamento: se
2. Associatividade:
3. Neutro multiplicativo: existe
4. Inverso multiplicativo: para cada
5. Comutatividade:
Passo 4
A multiplicação é distributiva sobre a adição, ou seja, para quaisquer
vale
Resposta
Como verificamos que
e
são grupos abelianos e que a multiplicação distribui sobre a adição, concluímos que
é um corpo.