Escreva as funções abaixo em uma série de Fourier no intervalo (-\pi, \pi) :
f(x)=\operatorname{senh}(x).

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Fourier de f(x)=\operatorname{sinh}(x) no intervalo (-\pi,\pi). O conteúdo usado será a série de Fourier em (-\pi,\pi), lembrando que para funções ímpares só aparecem termos em seno.

Passo 2

Como \operatorname{sinh}(x) é função ímpar \operatorname{sinh}(-x)=-\operatorname{sinh}(x), sua série de Fourier em (-\pi,\pi) é da forma
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx),
onde
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sinh}(x)\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sinh}(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Para calcular
I_n=\int_{0}^{\pi}\operatorname{sinh}(x)\sin(nx)\,dx
usamos \operatorname{sinh}(x)=\tfrac{e^x-e^{-x}}{2} e a fórmula
\int e^{ax}\sin(bx)\,dx =\frac{e^{ax}\bigl(a\sin(bx)-b\cos(bx)\bigr)}{a^2+b^2}.

Passo 4

Separando
I_n=\tfrac12\Bigl(\!\int_{0}^{\pi}e^{x}\sin(nx)\,dx -\int_{0}^{\pi}e^{-x}\sin(nx)\,dx\Bigr),
e aplicando a fórmula para a=1 e a=-1, obtemos, após avaliar em 0 e \pi e simplificar,
I_n =(-1)^{n+1}\,\frac{n\,\operatorname{sinh}(\pi)}{1+n^2}.

Passo 5

Logo
b_n =\frac{2}{\pi}\,I_n =\frac{2}{\pi}\,(-1)^{n+1}\,\frac{n\,\operatorname{sinh}(\pi)}{1+n^2} =\frac{2\,(-1)^{n+1}\,n\,\operatorname{sinh}(\pi)}{\pi\,(1+n^2)}.

Passo 6

Portanto a série de Fourier de \operatorname{sinh}(x) em (-\pi,\pi) fica
\operatorname{sinh}(x) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,(-1)^{n+1}\,n\,\operatorname{sinh}(\pi)}{\pi\,(1+n^2)}\, \sin(nx).

Resposta

\operatorname{sinh}(x) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,(-1)^{n+1}\,n\,\operatorname{sinh}(\pi)}{\pi\,(1+n^2)}\, \sin(nx).

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