1.12 Uma partícula se desloca em relação ao tempo de acordo com a equação
. Uma outra partícula se desloca segundo a reta
. Se no instante
a posição da segunda partícula é (
) e está se deslocando com velocidade constante, que velocidade deve ter para estarem simultaneamente no ponto de tangência?
Passo 1
No enunciado temos duas partículas: a primeira com equação de movimento
e a segunda se deslocando ao longo da reta
, partindo em
de
com velocidade constante. Precisamos achar essa velocidade para que ambas coincidam exatamente no ponto de tangência à curva da primeira.
Passo 2
Para descobrir a direção da curva no instante
, calculamos a derivada de
. Temos
que é o vetor tangente à trajetória da primeira partícula.
Passo 3
A reta dada tem vetor diretriz
. No ponto de tangência, o vetor tangente
deve ser paralelo a
. Logo existe
tal que
Da primeira componente vem
Passo 4
O ponto de tangência é
$$r\bigl(\tfrac32\bigr)=\Bigl(\tfrac32+1,,(\tfrac32)^2+5\Bigr)=\Bigl(\tfrac52,,\tfrac{29}4\Bigr).
$$
Podemos checar que ele realmente satisfaz a reta: .
Podemos checar que ele realmente satisfaz a reta:
Passo 5
A segunda partícula parte de
em
e chega a
em
. Sua velocidade constante é dada por
$$v=\frac{(\tfrac52,\tfrac{29}4)-(0,-\tfrac14)}{\tfrac32}=\Bigl(\tfrac{5}{3},,5\Bigr).
$$
Resposta
A velocidade da segunda partícula deve ser
, com módulo
.