1.12 Uma partícula se desloca em relação ao tempo de acordo com a equação y=3 x-14. Uma outra partícula se desloca segundo a reta t=0. Se no instante 0,-14 a posição da segunda partícula é ( ) e está se deslocando com velocidade constante, que velocidade deve ter para estarem simultaneamente no ponto de tangência?

Passo 1

No enunciado temos duas partículas: a primeira com equação de movimento r(t) = (t+1,,t^2+5) e a segunda se deslocando ao longo da reta y = 3x - tfrac14, partindo em t=0 de (0,-tfrac14) com velocidade constante. Precisamos achar essa velocidade para que ambas coincidam exatamente no ponto de tangência à curva da primeira.

Passo 2

Para descobrir a direção da curva no instante t, calculamos a derivada de r(t). Temos
r'(t) = l(1,,2tr)
que é o vetor tangente à trajetória da primeira partícula.

Passo 3

A reta dada tem vetor diretriz (1,3). No ponto de tangência, o vetor tangente r'(t0) deve ser paralelo a (1,3). Logo existe lambda tal que
(1,2t0) = lambda(1,3)
Da primeira componente vem lambda=1 e da segunda 2t0=3, portanto
t0 = tfrac32

Passo 4

O ponto de tangência é
$$r\bigl(\tfrac32\bigr)=\Bigl(\tfrac32+1,,(\tfrac32)^2+5\Bigr)=\Bigl(\tfrac52,,\tfrac{29}4\Bigr).
$$
Podemos checar que ele realmente satisfaz a reta: rl(tfrac32r)=l(tfrac32+1,,(tfrac32)^2+5r)=l(tfrac52,,tfrac294r) .

Passo 5

A segunda partícula parte de (0,-tfrac14) em t=0 e chega a (tfrac52,tfrac294) em t0=tfrac32. Sua velocidade constante é dada por
$$v=\frac{(\tfrac52,\tfrac{29}4)-(0,-\tfrac14)}{\tfrac32}=\Bigl(\tfrac{5}{3},,5\Bigr).
v=(tfrac52,tfrac294)-(0,-tfrac14)tfrac32=l(tfrac53,,5r) óé|v|=\sqrt{\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)2+52}=\frac{5\sqrt{10}}{3}.
$$

Resposta

A velocidade da segunda partícula deve ser v=(tfrac53,5), com módulo 5raiz103.

Exercícios relacionados