Ache as áreas das seguintes regiões D usando integrais duplas.
r=cos (2 theta), primeiro quadrante.
( A=pi8 u.a.)

Passo 1

O enunciado manda achar a área da região D que fica no primeiro quadrante e é limitada pela curva em coordenadas polares r=cos(2θ). O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar usar a fórmula da área como integral dupla em (r,θ).

Passo 2

Para montar a integral, a gente precisa dos limites de θ em que a curva está no primeiro quadrante (isto é, r≥0 e 0≤θ≤π/2). Como r=cos(2θ)≥0 quando 2θ∈[−π/2,π/2], dentro de [0,π/2] isso corresponde a 0≤θ≤π/4.

Passo 3

A fórmula da área em coordenadas polares é
A=integral duplaDdA=integralθ=0^π/4integralr=0^cos(2θ)r,dr,dθ

Passo 4

A integral em r é
integral0^cos(2θ)r,dr=r^22|0^cos(2θ)=cos^2(2θ)2

Passo 5

Agora integramos em θ:
A=integral0^π/4cos^2(2θ)2,dθ=12integral0^π/4cos^2(2θ),dθ

Passo 6

Usando a identidade cos^2α=(1+cos(2α))/2,
integral0^π/4cos^2(2θ),dθ=integral0^π/41+cos(4θ)2,dθ=12l[θ+sin(4θ)4r]0^π/4=π8

Passo 7

Multiplicando pelo 1/2 que estava fora, concluímos que a área vale A=π8 unidades de área.

Resposta

π8 unidades de área

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