2.5 Responda:
(a) Considere a função f(x, y)=x^2 y4 x^2+y^2. Existe lim (x, y) (0,0) f(x, y) ? Qual seu valor?
Solução: Primeiro veja que a função g(x, y)=x^24 x^2+y^2 é limitada, pois
0 <= g(x, y)=x^24 x^2+y^2 <= x^24 x^2=14
E a função h(x, y)=y satisfaz lim (x, y) (0,0) h(x, y)=0, nessas condições, o limite do produto g(x, y) cdot h(x, y) quando (x, y) (0,0) é igual a zero, isto é, lim (x, y) (0,0) g(x, y) cdot h(x, y)=0. Portanto,
lim (x, y) (0,0) f(x, y)=lim (x, y) (0,0) x^2 y4 x^2+y^2=lim (x, y) (0,0) g(x, y) cdot h(x, y)=0
(b) É possível dar um valor a f(0,0) de modo que f seja contínua em (0,0) ? Justifique.
Solução: Para que a função f seja contínua em (0,0), devemos ter lim (x, y) (0,0) f(x, y)=f(0,0).
Como lim (x, y) (0,0) f(x, y)=0, então basta definir f(0,0)=0, e assim f será contínua.

Passo 1

Nesse exercício vamos olhar a função f(x,y)=x^2y4x^2+y^2 e queremos entender limite em (0,0) e continuidade. O conteúdo é limite para funções de duas variáveis e usar a ideia de fatorar em uma parte limitada e outra que vai a zero.

Passo 2

Reescrevemos f(x,y) como produto de duas funções: definimos g(x,y)=x^24x^2+y^2 e h(x,y)=y. Primeiro, notamos que
0<= g(x,y)=x^24x^2+y^2<= x^24x^2=14
Assim, g(x,y) é limitada e h(x,y)to0 quando (x,y)to(0,0). Pelo teorema do produto,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=lim(x,y)to(0,0)g(x,y)cdot h(x,y)=0

Passo 3

Para tornar f contínua em (0,0), basta que f(0,0) seja igual ao limite encontrado, ou seja, zero.

Resposta

(a) Sim, o limite existe e vale 0. (b) Basta definir f(0,0)=0 para que f seja contínua em (0,0).

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