Considere f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função real dada por
f(x, y)=x^{3}-3 x+y^{3}-3 y .
Observe que f(-x,-y)=-f(x, y) e f(x, y)=f(y, x). Considere D a seguinte região do plano
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:-2 \leq x \leq 2,-2 \leq y \leq 2\right\} .
(a) (4 pontos) Quais são os pontos interiores de D ? Quais são os pontos de fronteira de D ? O conjunto D é limitado ou ilimitado? D é fechado? Justifique suas respostas.
(b) (2 pontos) Justifique a existência de extremos globais para f ao longo de D.
(c) ( 15 pontos) Encontre os extremos locais de f.
(d) ( 10 pontos) Encontre os extremos de f ao longo da fronteira de D.
(e) (4 pontos) Encontre os extremos globais de f no conjunto D. Quais os valores máximos e mínimos de f em D ?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=x^3-3x+y^3-3y,
e o conjunto
D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid -2\le x\le2,\;-2\le y\le2\}.
O objetivo é estudar topologia de D, existência de extremos globais e depois achar extremos locais (interior e fronteira) de f.

Passo 2

(a) Para D=[-2,2]\times[-2,2]:
  • Os pontos interiores são
\{(x,y)\mid -2<x<2,\;-2<y<2\}.
  • Os pontos de fronteira são
\{(x,y)\mid x=-2\lor x=2\lor y=-2\lor y=2\}.
  • D é limitado (é um retângulo de lados finitos) e é fechado (contém todas as suas fronteiras).

Passo 3

(b) A função f é polinomial, logo contínua em \mathbb R^2. Como D é compacto (fechado e limitado), pelo Teorema do Valor Extremo f atinge máximo e mínimo absolutos em D.

Passo 4

(c) No interior de D, achamos primeiros \nabla f=0:
f_x=3x^2-3,\quad f_y=3y^2-3\quad\Longrightarrow\quad x^2=1,\;y^2=1.
Assim os críticos são (\pm1,\pm1). A Hessiana é diagonal \mathrm{diag}(6x,6y), logo:
  • Em (1,1): Hessiana positiva definida \Rightarrow mínimo local,
  • Em (-1,-1): Hessiana negativa definida \Rightarrow máximo local,
  • Em (1,-1) e (-1,1): sinais opostos \Rightarrow pontos de sela.

Passo 5

(d) Na fronteira parametrizamos em cada aresta ( x=\pm2 ou y=\pm2) e resolvemos em uma variável. O resumo dos valores críticos e de extremidades nos dá:
  • Nas arestas x=2 ou y=2 surge valor máximo f=4 quando o outro coordenado é \pm1.
  • Nas arestas x=-2 ou y=-2 surge valor mínimo f=-4 em três pontos: (-2,-2), (-2,1) e (1,-2).

Passo 6

(e) Comparando todos os valores críticos interiores e de fronteira, obtemos:
  • Máximo global f=4 atingido em
(-1,-1)\quad(\text{interior}),\quad(2,1),(2,-1),(1,2),(-1,2)\quad(\text{fronteira}).
  • Mínimo global f=-4 atingido em
(1,1)\quad(\text{interior}),\quad(-2,-2),\,(-2,1),\,(1,-2)\quad(\text{fronteira}).

Resposta

(a) Interiores: \{(x,y)\mid -2<x<2,\;-2<y<2\}. Fronteira: \{(x,y)\mid x=\pm2\lor y=\pm2\}. D é limitado e fechado.
(b) f é contínua e D é compacto, logo existem extremos globais.
(c) Pontos críticos interiores: (1,1) mínimo local; (-1,-1) máximo local; (1,-1), (-1,1) sela.
(d) Na fronteira: máximos locais f=4 em (2,\pm1), (\pm1,2); mínimos locais f=-4 em (-2,-2), (-2,1), (1,-2).
(e) Máximo global f_{\max}=4 em (-1,-1) e em (2,\pm1), (\pm1,2); mínimo global f_{\min}=-4 em (1,1) e em (-2,-2), (-2,1), (1,-2).

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