Considere
a função real dada por
Observe que
e
. Considere
a seguinte região do plano
(a) (4 pontos) Quais são os pontos interiores de
? Quais são os pontos de fronteira de
? O conjunto
é limitado ou ilimitado?
é fechado? Justifique suas respostas.
(b) (2 pontos) Justifique a existência de extremos globais para
ao longo de
.
(c) ( 15 pontos) Encontre os extremos locais de
.
(d) ( 10 pontos) Encontre os extremos de
ao longo da fronteira de
.
(e) (4 pontos) Encontre os extremos globais de
no conjunto
. Quais os valores máximos e mínimos de
em
?
(b) (2 pontos) Justifique a existência de extremos globais para
(c) ( 15 pontos) Encontre os extremos locais de
(d) ( 10 pontos) Encontre os extremos de
(e) (4 pontos) Encontre os extremos globais de
Passo 1
O enunciado define
e o conjunto
O objetivo é estudar topologia de
, existência de extremos globais e depois achar extremos locais (interior e fronteira) de
.
Passo 2
(a) Para
:
- Os pontos interiores são
- Os pontos de fronteira são
-
é limitado (é um retângulo de lados finitos) e é fechado (contém todas as suas fronteiras).
Passo 3
(b) A função
é polinomial, logo contínua em
. Como
é compacto (fechado e limitado), pelo Teorema do Valor Extremo
atinge máximo e mínimo absolutos em
.
Passo 4
(c) No interior de
, achamos primeiros
:
Assim os críticos são
. A Hessiana é diagonal
, logo:
- Em
: Hessiana positiva definida mínimo local, - Em
: Hessiana negativa definida máximo local, - Em
e : sinais opostos pontos de sela.
Passo 5
(d) Na fronteira parametrizamos em cada aresta (
ou
) e resolvemos em uma variável. O resumo dos valores críticos e de extremidades nos dá:
- Nas arestas
ou surge valor máximo quando o outro coordenado é . - Nas arestas
ou surge valor mínimo em três pontos: , e .
Passo 6
(e) Comparando todos os valores críticos interiores e de fronteira, obtemos:
- Máximo global
atingido em
- Mínimo global
atingido em
Resposta
(a) Interiores:
. Fronteira:
.
é limitado e fechado.
(b) é contínua e
é compacto, logo existem extremos globais.
(c) Pontos críticos interiores: mínimo local;
máximo local;
,
sela.
(d) Na fronteira: máximos locais em
,
; mínimos locais
em
,
,
.
(e) Máximo global em
e em
,
; mínimo global
em
e em
,
,
.
(b)
(c) Pontos críticos interiores:
(d) Na fronteira: máximos locais
(e) Máximo global