(a) (4 pontos) Considere o conjunto
\mathcal{B}=\left\{\vec{v}_{1}=(0,1,1), \vec{v}_{2}=(1,0,0), \vec{v}_{3}=(0,-1,1), \vec{v}_{4}=(0,0,0)\right\} .
(i) O conjunto \mathcal{B} é ortogonal? É linearmente independente?
(ii) Dê uma base para o espaço das combinações lineares dos vetores de $\mathcal{B}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\mathcal{B}=\{\vec v_{1}=(0,1,1),\,\vec v_{2}=(1,0,0),\,\vec v_{3}=(0,-1,1),\,\vec v_{4}=(0,0,0)\}
e pergunta
(i) se \mathcal{B} é ortogonal e se é linearmente independente;
(ii) uma base para o espaço das combinações lineares de seus vetores.
Para isso vamos usar o produto escalar em \mathbb{R}^3 e a definição de independência linear e de base.

Passo 2

Verificamos a ortogonalidade calculando \vec v_i\cdot\vec v_j para i\neq j:
\vec v_{1}\cdot\vec v_{2}=0,
\vec v_{1}\cdot\vec v_{3}=1\cdot(-1)+1\cdot1=0,
\vec v_{2}\cdot\vec v_{3}=0,
qualquer produto com \vec v_{4}=(0,0,0) dá zero.
Logo todo par distinto de vetores tem produto escalar zero, ou seja, \mathcal{B} é ortogonal.

Passo 3

Para ser linearmente independente, a única combinação
\alpha_1\vec v_1+\alpha_2\vec v_2+\alpha_3\vec v_3+\alpha_4\vec v_4=\vec 0
deveria ter \alpha_i=0 para todos i. Mas como \vec v_{4}=\vec 0, basta tomar \alpha_4=1 e \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0 para obter uma combinação nula não trivial.
Logo \mathcal{B} não é linearmente independente.

Passo 4

O espaço gerado por \mathcal{B} é o mesmo que o gerado por \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}, pois \vec v_4 não acrescenta dimensão.
Verificamos que \vec v_1 e \vec v_3 são independentes (se \alpha\vec v_1+\beta\vec v_3=\vec0 então \alpha=\beta=0) e que \vec v_2 não pertence ao plano x=0 que eles geram, de modo que \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} tem 3 vetores independentes em \mathbb{R}^3.
Portanto
\{\,(0,1,1),\,(1,0,0),\,(0,-1,1)\}
é uma base do espaço gerado por \mathcal{B}.

Resposta

(i) \mathcal{B} é ortogonal e não é linearmente independente.
(ii) Uma base para \mathrm{Span}(\mathcal{B}) é
\{\,\vec v_1=(0,1,1),\;\vec v_2=(1,0,0),\;\vec v_3=(0,-1,1)\}.

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