(a) (4 pontos) Considere o conjunto
(i) O conjunto
é ortogonal? É linearmente independente?
(ii) Dê uma base para o espaço das combinações lineares dos vetores de $\mathcal{B}.
(ii) Dê uma base para o espaço das combinações lineares dos vetores de $\mathcal{B}.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pergunta
(i) se é ortogonal e se é linearmente independente;
(ii) uma base para o espaço das combinações lineares de seus vetores.
Para isso vamos usar o produto escalar em e a definição de independência linear e de base.
e pergunta
(i) se
(ii) uma base para o espaço das combinações lineares de seus vetores.
Para isso vamos usar o produto escalar em
Passo 2
Verificamos a ortogonalidade calculando
para
:
,
,
,
qualquer produto com dá zero.
Logo todo par distinto de vetores tem produto escalar zero, ou seja, é ortogonal.
qualquer produto com
Logo todo par distinto de vetores tem produto escalar zero, ou seja,
Passo 3
Para ser linearmente independente, a única combinação
deveria ter
para todos
. Mas como
, basta tomar
e
para obter uma combinação nula não trivial.
Logo não é linearmente independente.
Logo
Passo 4
O espaço gerado por
é o mesmo que o gerado por
, pois
não acrescenta dimensão.
Verificamos que e
são independentes (se
então
) e que
não pertence ao plano
que eles geram, de modo que
tem 3 vetores independentes em
.
Portanto
Verificamos que
Portanto
é uma base do espaço gerado por
.
Resposta
(i)
é ortogonal e não é linearmente independente.
(ii) Uma base para é
(ii) Uma base para