(7 pontos) Uma matriz simétrica A tem polinômio característico dado por
p(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)
Sabendo que ao autovalor \lambda=0 estão associados os autovetores
\vec{w}_{1}=(-1,-1,0) \text { e } \vec{w}_{2}=(-1,-1,-1)
encontre uma base ortonormal formada por autovetores de A. Indique uma maneira de obter a matriz A (você não precisa calcular a matriz A !)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz simétrica A\in\mathbb{R}^{3\times3} com polinômio característico
p(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1),
logo os autovalores são \lambda=0 (multiplicidade 2) e \lambda=1 (multiplicidade 1). Aos autovalores \lambda=0 estão associados os vetores
\vec w_{1}=(-1,-1,0) e \vec w_{2}=(-1,-1,-1).
Como A é simétrica, podemos escolher uma base ortonormal de autovetores. Vamos ortonormalizar \vec w_{1},\vec w_{2} pelo processo de Gram–Schmidt e depois encontrar um vetor unitário para \lambda=1 ortogonal aos dois primeiros.

Passo 2

Ortonormalização de \vec w_{1},\vec w_{2} para \lambda=0.
  1. Definimos \vec u_{1}=\vec w_{1}=(-1,-1,0).
    Sua norma é
    \|\vec u_{1}\| = \sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}} = \sqrt{2}.
    Então
    \vec e_{1} = \frac{\vec u_{1}}{\|\vec u_{1}\|} = \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2},0\Bigr).
  2. Projetamos \vec w_{2} sobre \vec e_{1}:
    \langle \vec w_{2},\vec e_{1}\rangle =(-1,-1,-1)\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2},0\Bigr) =\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.
    Definimos
    \vec u_{2} = \vec w_{2} - \langle \vec w_{2},\vec e_{1}\rangle\,\vec e_{1} =(-1,-1,-1) - \sqrt2\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2},0\Bigr) =(0,0,-1).
    A norma de \vec u_{2} é \|\vec u_{2}\|=1, logo
    \vec e_{2} = (0,0,-1).

Passo 3

Autovetor unitário para \lambda=1. Deve ser ortogonal a \vec e_{1},\vec e_{2}. Seja \vec v=(x,y,z).
  1. \langle \vec v,\vec e_{1}\rangle=0 -\tfrac{x}{\sqrt2}-\tfrac{y}{\sqrt2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y=0.
  2. \langle \vec v,\vec e_{2}\rangle=0 -z =0, ou seja z=0.
  3. Como x+y=0, tomamos x=1/\sqrt2, y=-1/\sqrt2 para normalizar: \vec e_{3}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2},0\Bigr),que satisfaz \|\vec e_{3}\|=1.

Passo 4

A base ortonormal de autovetores de A é
\{\vec e_{1},\,\vec e_{2},\,\vec e_{3}\} =\Bigl\{\bigl(-\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2},0\bigr),\,(0,0,-1),\,\bigl(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2},0\bigr)\Bigr\}.
Como A é simétrica, pela decomposição espectral podemos escrever
A = P\,D\,P^{T},
onde
P = \bigl[\vec e_{1}\;\vec e_{2}\;\vec e_{3}\bigr], \quad D = \operatorname{diag}(0,0,1).
Em particular,
A = 0\,\vec e_{1}\vec e_{1}^{T} + 0\,\vec e_{2}\vec e_{2}^{T} + 1\,\vec e_{3}\vec e_{3}^{T} = \vec e_{3}\,\vec e_{3}^{T}.

Resposta

A base ortonormal de autovetores é
\vec e_{1}=\Bigl(-\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2},0\Bigr),\quad \vec e_{2}=(0,0,-1),\quad \vec e_{3}=\Bigl(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2},0\Bigr).
Uma maneira de obter A é usar a decomposição espectral
A = P\,\mathrm{diag}(0,0,1)\,P^{T},
com P=[\vec e_{1}\;\vec e_{2}\;\vec e_{3}].

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