(7 pontos) Uma matriz simétrica
tem polinômio característico dado por
Sabendo que ao autovalor
estão associados os autovetores
encontre uma base ortonormal formada por autovetores de
. Indique uma maneira de obter a matriz
(você não precisa calcular a matriz
!)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz simétrica
com polinômio característico
logo os autovalores são
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 1). Aos autovalores
estão associados os vetores
e
.
Como é simétrica, podemos escolher uma base ortonormal de autovetores. Vamos ortonormalizar
pelo processo de Gram–Schmidt e depois encontrar um vetor unitário para
ortogonal aos dois primeiros.
Como
Passo 2
Ortonormalização de
para
.
-
Definimos
.
Sua norma éEntão -
Projetamos
sobre : DefinimosA norma deé , logo
Passo 3
Autovetor unitário para
. Deve ser ortogonal a
. Seja
.
-
dá -
dá , ou seja . - Como
, tomamos , para normalizar: que satisfaz .
Passo 4
A base ortonormal de autovetores de
é
Como
é simétrica, pela decomposição espectral podemos escrever
onde
Em particular,
Resposta
A base ortonormal de autovetores é
Uma maneira de obter
é usar a decomposição espectral
com
.