(12 pontos) O jornal Folha de São Paulo publicou, no mês de fevereiro de 2025, que uma forte onda de calor está ocorrendo no país, levando o consumo diário de energia a um recorde, segundo dados preliminares divulgados pelo ONS (Operador Nacional do Sistema Elétrico). Com os dados da tabela abaixo deseja-se estudar a relação entre a temperatura média diária ( X_{i},{ }^{\circ} C ) e o consumo de eletricidade ( Y_{i}, em gigawatts, GW) na cidade de São Paulo, por meio da regressão linear simples (RLS).
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Temperatura 26,0 27,5 29,0 30,5 32,0 33,5 35,0 36,5 38,0 39,5
Consumo 6,9 7,2 7,6 7,7 8,1 8,2 8,6 8,8 9,2 9,4
Pede-se:
a.(3 pt) Estime e interprete o coeficiente de regressão do modelo.
b.(3 pt) Estime, interprete, se possível, e comente sobre a constante de regressão do modelo.
c.(2 pt) Apresente o modelo de RLS ajustado com notação adequada.
d.(2 pt) Calcule e interprete o coeficiente de determinação do modelo.
e.(2 pt) Estime o consumo de eletricidade médio para um dia cuja temperatura média é de 32^{\circ} \mathrm{C} e também calcule o desvio da regressão para a estimativa apresentada.

Passo 1

O enunciado apresenta n=10 pares de observações (X_i,Y_i), onde X_i é a temperatura média diária (em {}^\circ C) e Y_i é o consumo de eletricidade (em GW). Queremos ajustar o modelo de regressão linear simples
Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon
pela RLS, ou seja, estimar
b_1 \;=\;\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2} \quad\text{e}\quad b_0 \;=\;\bar Y - b_1\,\bar X,
onde \bar X e \bar Y são as médias amostrais de X e Y, resp.

Passo 2

Calculemos primeiro
\bar X = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i = \frac{327{,}5}{10} = 32{,}75, \quad \bar Y = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}Y_i = \frac{81{,}7}{10} = 8{,}17.
Em seguida
S_{xx} = \sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)^2 = 185{,}625, \quad S_{xy} = \sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y) = 33{,}975.
Logo o coeficiente angular fica
b_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{33{,}975}{185{,}625} \approx 0{,}1831.

Passo 3

Estimamos a ordenada na origem por
b_0 = \bar Y - b_1\,\bar X = 8{,}17 - 0{,}1831\times 32{,}75 \approx 2{,}1735.
Interpretação: b_0 é o consumo previsto quando X=0, mas como 0{}^\circ C extrapola a faixa dos dados, seu valor tem pouca interpretação física.

Passo 4

Para avaliar o ajuste, calculemos
S_{yy} = \sum_{i=1}^{10}(Y_i-\bar Y)^2 = 6{,}261, \quad \mathrm{SSR} = b_1\,S_{xy} \approx 0{,}1831\times 33{,}975 = 6{,}217,
\mathrm{SSE} = S_{yy} - \mathrm{SSR} = 6{,}261 - 6{,}217 = 0{,}044, \quad R^2 = \frac{\mathrm{SSR}}{S_{yy}} \approx \frac{6{,}217}{6{,}261} = 0{,}993.
Interpretação: cerca de 99{,}3\% da variação do consumo é explicada pela temperatura.

Passo 5

Para X_0=32{}^\circ C a previsão é
\hat Y_0 = b_0 + b_1 X_0 = 2{,}1735 + 0{,}1831\times 32 = 8{,}0311\;\mathrm{GW}.
O desvio-padrão da predição é dado por
s = \sqrt{\frac{\mathrm{SSE}}{n-2}} = \sqrt{\frac{0{,}044}{8}} = 0{,}0742,
\mathrm{se}_{\mathrm{pred}} = s \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_0-\bar X)^2}{S_{xx}}} = 0{,}0742 \sqrt{1 + 0{,}1 + \frac{(32 - 32{,}75)^2}{185{,}625}} \approx 0{,}0780\;\mathrm{GW}.

Resposta

a. O coeficiente angular é
\widehat{\beta_1} = b_1 \approx 0{,}1831,
o que significa que, em média, a cada aumento de 1{}^\circ C na temperatura, o consumo cresce 0{,}1831 GW.
b. A constante é
\widehat{\beta_0} = b_0 \approx 2{,}1735,
que seria o consumo previsto a 0{}^\circ C. Como 0{}^\circ C está fora do intervalo observado, essa estimativa não tem interpretação física direta.
c. O modelo ajustado é
\hat Y = 2{,}1735 \;+\; 0{,}1831\,X.
d. O coeficiente de determinação é
R^2 \approx 0{,}993,
indicando que 99{,}3\% da variabilidade do consumo é explicada pela temperatura.
e. Para X=32{}^\circ C a previsão é
\hat Y = 8{,}031\;\mathrm{GW}
com desvio-padrão da predição de aproximadamente 0{,}078 GW.

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