(8 pontos) A tabela abaixo informa os nomes, os salários recebidos por hora (em reais)
e o total de horas de trabalho, de uma amostra aleatória de 4 pessoas.
Nomes
Pedro João Marcos Luiz
Salário (\mathrm{R} \ / \mathrm{h})$ & 13,50 & 12,60 & 13,80 & 14,10 \ \cline { 2 - 5 } Total de horas de trabalho (\mathrm{h}) 10 12 15 6
a.(2 pt) Informe o salário médio, mediano e modal ( \mathrm{R} \ / \mathrm{h}$ ) dessa amostra.
b. (2 pt) Alguma das três medidas obtidas no item a. seria inapropriada para resumir os valores de salários? Responda SIM ou NÃO e justifique sua resposta.
c. ( \mathbf{2} pt) Se todos os valores de salário forem aumentados em 30 \% ( Y_{i}=X_{i}+0,3 X_{i} ou Y_{i}=1,3 X_{i} ), qual seria o novo valor do salário médio ( \bar{Y} )? Explique.
d. ( \mathbf{2} pt) Se todos os valores de salário forem aumentados em 1,5 \mathrm{R} \$/ \mathrm{h}\left(W_{i}=X_{i}+1,5\right), qual seria o novo valor da variância ( S_{W}^{2} ) dos salários? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá quatro salários por hora X_i: \;13,50,\;12,60,\;13,80,\;14,10.
O conteúdo é estatística descritiva (média, mediana, moda) e propriedades de transformações lineares sobre média e variância.

Passo 2

Para calcular a média
\bar X = \frac{13,50 + 12,60 + 13,80 + 14,10}{4} = \frac{54,00}{4} = 13,50.
Para a mediana, primeiro ordenamos os valores:
12,60,\;13,50,\;13,80,\;14,10.
Como são n=4 dados pares, a mediana é a média dos 2.º e 3.º termos:
\text{mediana} = \frac{13,50 + 13,80}{2} = 13,65.
Não há valor repetido, logo não existe moda (ou seja, a moda é “nenhuma”).

Passo 3

Seria alguma medida inapropriada? SIM.
Justificativa: a moda não resume bem este conjunto, pois não há nenhuma repetição de salários, logo não fornece informação útil.

Passo 4

Se cada salário for multiplicado por 1,3, definindo Y_i = 1,3X_i, a média transforma-se assim:
\bar Y = 1,3\,\bar X = 1,3 \times 13,50 = 17,55.

Passo 5

Se cada salário for acrescido de 1,5, definindo W_i = X_i + 1,5, a variância não muda quando somamos constante. Assim,
S_W^2 = S_X^2.
Se quisermos o valor numérico de S_X^2 (amostral), calculamos
\sum (X_i - 13,50)^2 = 0 + 0,81 + 0,09 + 0,36 = 1,26
e
S_X^2 = \frac{1,26}{4 - 1} = 0,42.
Logo,
S_W^2 = 0,42.

Resposta

(a) \bar X = 13,50; mediana =13,65; moda = nenhuma.
(b) SIM. A moda é inapropriada porque não há valores repetidos.
(c) \bar Y = 17,55.
(d) S_W^2 = S_X^2 = 0,42.

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