Considere o operador linear T: R^3 R^3 dado por:
T(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y+2 z)
e as seguintes bases para o espaço vetorial real R^3:
beta=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), Gamma=(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)
Encontre os autovalores do operador linear T.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (y+z,;x+z,;x+y+2z)
e pede seus autovalores. Para encontrá-los, vamos montar a matriz de T na base canônica beta e calcular o polinômio característico
det(A-lambda I)=0.

Passo 2

Na base canônica beta=e1,e2,e3 temos
T(e1)=T(1,0,0)=(0,1,1), T(e2)=T(0,1,0)=(1,0,1), T(e3)=T(0,0,1)=(1,1,2)
Logo a matriz de T em beta é
A= 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2

Passo 3

O polinômio característico é
p(lambda)=det(A-lambda I) =det -lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 1 1 & 1 & 2-lambda
Fazendo a expansão por co-fatores, obtém-se
p(lambda) =-lambda(lambda^2-2lambda-1)+(lambda-1)+(lambda+1) =-lambda^3+2lambda^2+3lambda =-lambda(lambda^2-2lambda-3) =-lambda(lambda-3)(lambda+1)

Passo 4

As raízes de p(lambda) são
lambda=0, lambda=3, lambda=-1,
que são exatamente os autovalores de T.

Resposta

Os autovalores de T são 0, 3 e -1.

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