Verificar se os vetores v1=(1,1,2,4), v2=(2,-1,-5,2), v3=(1,-1,-4,0) e v4=(2,1,1,6) são LI.

Passo 1

O enunciado fornece quatro vetores em R^4:
v1=(1,1,2,4), v2=(2,-1,-5,2), v3=(1,-1,-4,0), v4=(2,1,1,6),
e pede para verificar se eles são linearmente independentes. O método escolhido será montar a matriz cujas linhas são esses vetores e aplicar eliminação de Gauss para determinar o posto (rank) da matriz. Se o posto for menor que 4, conclui-se que há dependência linear.

Passo 2

Escrevemos a matriz A cujas linhas são v1,v2,v3,v4:
A = 1 & 1 & 2 & 4 2 & -1 & -5 & 2 1 & -1 & -4 & 0 2 & 1 & 1 & 6

Passo 3

Eliminamos usando a primeira linha como pivô:
  • L2 L2 - 2L1
  • L3 L3 - L1
  • L4 L4 - 2L1
Isso produz
1 & 1 & 2 & 4 0 & -3 & -9 & -6 0 & -2 & -6 & -4 0 & -1 & -3 & -2

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha ( -3) para zerar abaixo:
  • L3 L3 - tfrac23L2
  • L4 L4 - tfrac13L2
Obtemos
1 & 1 & 2 & 4 0 & -3 & -9 & -6 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Na forma escalonada temos apenas 2 linhas não nulas, ou seja, há 2 pivôs. Logo
posto(A)=2 < 4
Como o posto é menor que o número de vetores, eles são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores v1,v2,v3,v4 são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados