( 12 pts ) Forneça a solução do problema de valor inicial abaixo.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-8 y=16-6 \delta(t-3), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O problema é um valor inicial para a EDO com segundo membro que mistura uma força constante e um choque ideal em t=3:
y'' + 2y' - 8y = 16 - 6\,\delta(t-3), \quad y(0)=1,\;y'(0)=2.
Para resolver, vamos usar a transformada de Laplace, que trata bem termos constantes e impulsos \delta.

Passo 2

Tomando Laplace em cada termo (denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}), lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \quad \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
e que
\mathcal{L}\{16\}=16/s,
\mathcal{L}\{\delta(t-3)\}=e^{-3s}.
Obtemos
\bigl(s^2Y - s\cdot1 -2\bigr) + 2\bigl(sY -1\bigr) - 8Y = \frac{16}{s} - 6e^{-3s}.

Passo 3

Reagrupando termos em Y(s) e os demais:
(s^2+2s-8)\,Y(s) - (s+4) = \frac{16}{s} - 6e^{-3s},
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Y(s) = \frac{s+4}{(s-2)(s+4)} \;+\;\frac{16}{s\,(s-2)(s+4)} \;-\;6\,\frac{e^{-3s}}{(s-2)(s+4)}.

Passo 4

Vamos decompor em frações parciais os dois primeiros termos sem o fator de deslocamento:
1. Para \dfrac{s+4}{(s-2)(s+4)} escrevemos
\frac{s+4}{(s-2)(s+4)} = \frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+4}.
2. Para \dfrac{16}{s\,(s-2)(s+4)} escrevemos
\frac{16}{s\,(s-2)(s+4)} = \frac{A'}{s}+\frac{B'}{s-2}+\frac{C'}{s+4}.

Passo 5

Determinamos os coeficientes:
1. \;s+4=A(s+4)+B(s-2) \Rightarrow A=1,\;B=0. 2. 16=A'\,(s-2)(s+4)+B'\,s(s+4)+C'\,s(s-2). Avaliando em s=0,2,-4
A'=-2,\quad B'=\tfrac{4}{3},\quad C'=\tfrac{2}{3}.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{s-2} - \frac{2}{s} + \frac{4/3}{s-2} + \frac{2/3}{s+4} \;-\;6\,\frac{e^{-3s}}{(s-2)(s+4)}.

Passo 6

Fazendo a inversa de Laplace nos três blocos:
  • \dfrac{1}{s-2} \longrightarrow e^{2t}.
  • -\dfrac{2}{s} + \dfrac{4/3}{s-2} + \dfrac{2/3}{s+4} invertem para
    -2 + \frac{4}{3}e^{2t} + \frac{2}{3}e^{-4t}.
  • Para \dfrac{e^{-3s}}{(s-2)(s+4)} usamos que
    \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-2)(s+4)}\}=\tfrac{1}{6}(e^{2t}-e^{-4t}),
    então o termo -6e^{-3s}/((s-2)(s+4)) vira
    -6\cdot \tfrac{1}{6}(e^{2(t-3)}-e^{-4(t-3)})\,u(t-3) = -\bigl(e^{2(t-3)}-e^{-4(t-3)}\bigr)\,u(t-3).
    Juntando tudo, para t<3 há apenas as duas primeiras partes, e para t\ge3 subtrai-se o pulso deslocado.

Resposta

y(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{7}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-4t}-2, &0\le t<3,\\[1em] \displaystyle \frac{7}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-4t}-2 -\bigl(e^{2(t-3)}-e^{-4(t-3)}\bigr), &t\ge3. \end{cases}]

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