( 12 pts ) Forneça a solução do problema de valor inicial abaixo.
Passo 1
O problema é um valor inicial para a EDO com segundo membro que mistura uma força constante e um choque ideal em
:
Para resolver, vamos usar a transformada de Laplace, que trata bem termos constantes e impulsos
.
Passo 2
Tomando Laplace em cada termo (denotando
), lembrando que
e que
,
.
Obtemos
Obtemos
Passo 3
Reagrupando termos em
e os demais:
logo
Passo 4
Vamos decompor em frações parciais os dois primeiros termos sem o fator de deslocamento:
. Para
escrevemos
Passo 5
Determinamos os coeficientes:
.
.
. Avaliando em
dá
Portanto
Passo 6
Fazendo a inversa de Laplace nos três blocos:
-
. -
invertem para
. - Para
usamos que
,
então o termovira
Juntando tudo, parahá apenas as duas primeiras partes, e para subtrai-se o pulso deslocado.