Seja a função f de duas variáveis x e y de tal forma que
z=\frac{x+y}{x-y} \quad \Leftrightarrow \quad f(x, y)=\frac{x+y}{x-y}
Determine:
(a) f(-3,4)
(b) f(6,3)
(c) f(x+1, y-1)
(d) f(-x, y)-f(x,-y)
(e) Qual o domínio D_{f} e a imagem I m dessa função?

Passo 1

O enunciado define a função
z = \frac{x+y}{x-y}
ou seja
f(x,y)=\frac{x+y}{x-y},
e pede:
(a) f(-3,4)
(b) f(6,3)
(c) f(x+1,y-1)
(d) f(-x,y)-f(x,-y)
(e) o domínio D_{f} e a imagem \mathrm{Im}(f).

Passo 2

Para (a) e (b) basta substituir no quociente:
f(-3,4)=\frac{-3+4}{-3-4}=\frac{1}{-7}=-\frac{1}{7},
f(6,3)=\frac{6+3}{6-3}=\frac{9}{3}=3.

Passo 3

Para (c), substituímos x\mapsto x+1 e y\mapsto y-1:
f(x+1,y-1) =\frac{(x+1)+(y-1)}{(x+1)-(y-1)} =\frac{x+y}{\,x-y+2\,}.

Passo 4

Para (d), calculamos cada termo e subtraímos:
f(-x,y)=\frac{-x+y}{-x-y} =\frac{y-x}{-(x+y)} =-\frac{y-x}{x+y} =\frac{x-y}{x+y},
f(x,-y)=\frac{x+(-y)}{x-(-y)} =\frac{x-y}{x+y}.
Logo
f(-x,y)-f(x,-y) =\frac{x-y}{x+y}-\frac{x-y}{x+y}=0.

Passo 5

O domínio é dado pelos pares (x,y) que não anulam o denominador x-y, ou seja
D_{f}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq y\}.
Para a imagem, note que, dado qualquer z\in\mathbb{R}, há soluções de
\frac{x+y}{x-y}=z em D_{f}. Assim
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.

Resposta

(a) -\tfrac{1}{7}
(b) 3
(c) \displaystyle \frac{x+y}{x-y+2}
(d) 0
(e)
D_{f}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq y\}, \quad \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.

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