Determine o domínio de f e faça um esboço gráfico:
f(x, y)=\frac{x^{2}-4 y+y^{2}}{(x-1)(x+2)}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=\frac{x^{2}-4y+y^{2}}{(x-1)(x+2)}
e um esboço gráfico do domínio no plano xy. Para encontrar o domínio, basta garantir que o denominador não seja zero.

Passo 2

O denominador é (x-1)(x+2). Logo, não podemos ter
x-1=0\quad\text{nem}\quad x+2=0
isto é,
x\neq 1 \quad\text{e}\quad x\neq -2.
Não há outra restrição vinda do numerador (que é um polinômio), nem de raízes ou logaritmos.

Passo 3

O domínio D é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq -2,\;x\neq 1\}.
Para esboçar no plano xy:
desenhe os eixos x e y;
trace as retas verticais x=-2 e x=1 em linha pontilhada para indicar que elas não pertencem ao domínio;
todo ponto fora dessas duas linhas faz parte do domínio.

Resposta

O domínio de f é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\neq -2,\;x\neq 1\}.
O esboço gráfico corresponde ao plano xy com as retas verticais x=-2 e x=1 removidas (representadas tracejadas).

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