(2 pts) De acordo com o Teorema das Funções Implícitas, em quais pontos (x, y) do plano a relação
F(x, y)=e^{x y}+e^{x}+y=1
define localmente uma função implícita y(x) diferenciável? Qual a equação da reta tangente ao gráfico de y(x) no ponto (0,1) ?

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
F(x,y)=e^{xy}+e^{x}+y=1
e pede onde, segundo o Teorema da Função Implícita, ela define localmente uma função y(x) diferenciável, e qual a reta tangente ao gráfico dessa y(x) no ponto (0,1).
Para isso vamos precisar de:
  1. Calcular as derivadas parciais
    \displaystyle F_x e \displaystyle F_y.
  2. Aplicar o critério do Teorema da Função Implícita: \displaystyle F_y\neq 0.
  3. Usar a fórmula da derivada implícita y'(x) \;=\; -\frac{F_x}{F_y}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de F:
F_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}+e^x+y\bigr) =y\,e^{xy}+e^x,
F_y(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}+e^x+y\bigr) =x\,e^{xy}+1.

Passo 3

Pelo Teorema da Função Implícita, a relação F(x,y)=1 define localmente uma função y(x) diferenciável em todo ponto (x,y) que satisfaz
F(x,y)=1 \quad\text{e}\quad F_y(x,y)\neq 0.
Isto é, em todos os (x,y) tais que
e^{xy}+e^x+y=1 \quad\text{e}\quad x\,e^{xy}+1\neq 0.

Passo 4

Para obter a derivada y'(x), diferenciamos implicitamente
F\bigl(x,y(x)\bigr)=1
em relação a x, o que dá
F_x + F_y\,y'=0 \quad\Longrightarrow\quad y'(x)=-\frac{F_x}{F_y}.

Passo 5

No ponto (0,1) temos
F_x(0,1) =1\cdot e^{0}+e^0 =1+1 =2, \qquad F_y(0,1) =0\cdot e^{0}+1 =1.
Logo
y'(0)=-\frac{2}{1}=-2.
A reta tangente em (0,1) satisfaz
y-1 =y'(0)\bigl(x-0\bigr) =-2\,x,
isto é
y=-2x+1.

Resposta

A relação define y(x) sempre que
e^{xy}+e^x+y=1 \quad\text{e}\quad x\,e^{xy}+1\neq 0.
A reta tangente ao gráfico de y(x) no ponto (0,1) é
\boxed{y=-2x+1.}

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