(2 pts) De acordo com o Teorema das Funções Implícitas, em quais pontos
do plano a relação
define localmente uma função implícita
diferenciável? Qual a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
?
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
e pede onde, segundo o Teorema da Função Implícita, ela define localmente uma função
diferenciável, e qual a reta tangente ao gráfico dessa
no ponto
.
Para isso vamos precisar de:
Para isso vamos precisar de:
- Calcular as derivadas parciais
e . - Aplicar o critério do Teorema da Função Implícita:
. - Usar a fórmula da derivada implícita
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Função Implícita, a relação
define localmente uma função
diferenciável em todo ponto
que satisfaz
Isto é, em todos os
tais que
Passo 4
Para obter a derivada
, diferenciamos implicitamente
em relação a
, o que dá
Passo 5
No ponto
temos
Logo
A reta tangente em
satisfaz
isto é
Resposta
A relação define
sempre que
A reta tangente ao gráfico de
no ponto
é