(2 pts) (a) Quando ocorre do multiplicador de Lagrange se anular?
(b) Qual a interpretação física do multiplicador de Lagrange?

Passo 1

O enunciado trata do método dos multiplicadores de Lagrange, usado para achar extremos de uma função f(x) sujeita a uma restrição de igualdade g(x)=c. Vamos ver (a) quando o multiplicador \lambda pode ser zero e (b) qual é sua interpretação física, ou seja, seu significado em termos de sensibilidade do problema.

Passo 2

Para encontrar um extremo com restrição, montamos a condição
\nabla f(x^*) + \lambda\,\nabla g(x^*) = 0.
Se \lambda=0, isso implica
\nabla f(x^*) = 0.
Logo, o ponto x^* já é estacionário para f sem precisar impor g(x)=c. Em outras palavras, o ponto ótimo do problema sem restrição também satisfaz a restrição. Portanto, \lambda se anula sempre que a restrição não é “ativa” no sentido de alterar a posição do extremo, ou seja, quando o ótimo unconstrained já pertence ao conjunto definido por g(x)=c.

Passo 3

Fisicamente, \lambda mede o quanto o valor ótimo de f varia se alterarmos ligeiramente o nível da restrição c. Mais precisamente,
\lambda = \frac{\partial f^*}{\partial c},
onde f^* é o valor ótimo de f sujeito a g(x)=c. Por isso em economia e otimização \lambda é chamado de “preço sombra”: indica quantas unidades de ganho (ou custo) a mais teremos em f^* ao relaxar (ou apertar) a restrição em uma unidade.

Resposta

(a) \lambda=0 ocorre quando o ponto estacionário de f sem restrição já satisfaz g(x)=c, isto é, a restrição não desloca o ótimo.
(b) \lambda é a taxa de variação do valor ótimo de f em relação a uma pequena mudança em c; em otimização, recebe o nome de “preço sombra”.

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