(2 pts) (a) Quando ocorre do multiplicador de Lagrange se anular?
(b) Qual a interpretação física do multiplicador de Lagrange?
(b) Qual a interpretação física do multiplicador de Lagrange?
Passo 1
O enunciado trata do método dos multiplicadores de Lagrange, usado para achar extremos de uma função
sujeita a uma restrição de igualdade
. Vamos ver (a) quando o multiplicador
pode ser zero e (b) qual é sua interpretação física, ou seja, seu significado em termos de sensibilidade do problema.
Passo 2
Para encontrar um extremo com restrição, montamos a condição
.
Se , isso implica
.
Logo, o ponto já é estacionário para
sem precisar impor
. Em outras palavras, o ponto ótimo do problema sem restrição também satisfaz a restrição. Portanto,
se anula sempre que a restrição não é “ativa” no sentido de alterar a posição do extremo, ou seja, quando o ótimo unconstrained já pertence ao conjunto definido por
.
Se
Logo, o ponto
Passo 3
Fisicamente,
mede o quanto o valor ótimo de
varia se alterarmos ligeiramente o nível da restrição
. Mais precisamente,
onde
é o valor ótimo de
sujeito a
. Por isso em economia e otimização
é chamado de “preço sombra”: indica quantas unidades de ganho (ou custo) a mais teremos em
ao relaxar (ou apertar) a restrição em uma unidade.
Resposta
(a)
ocorre quando o ponto estacionário de
sem restrição já satisfaz
, isto é, a restrição não desloca o ótimo.
(b) é a taxa de variação do valor ótimo de
em relação a uma pequena mudança em
; em otimização, recebe o nome de “preço sombra”.
(b)