(12 pts) Seja
definida por
, sendo
e
constantes reais. Encontrar
, sabendo que a tangente à curva
no ponto
tem inclinação
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
dada por
, onde
e
são constantes reais. Também são dadas duas informações sobre a curva
: o ponto
pertence à curva e a tangente à curva em
tem inclinação
. A pergunta é: encontrar o valor de
.
Lista clara das informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto
está na curva, então . - A inclinação da tangente em
é , então a derivada satisfaz . - Pedem
.
Passo 2
Entendendo o que é necessário usar: a inclinação da tangente a uma curva
em um ponto de abscissa
é dada pela derivada
. Portanto precisamos calcular a derivada de
em forma simbólica e depois avaliá-la em
.
Regra de derivação que vamos usar (explicando bem): para uma função do tipo
(onde
é constante e
é inteiro), a derivada é
. Aqui
e
são constantes multiplicativas, então tratamos
e
como constantes.
Aplicando isso em
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto,
Passo 3
Usando a condição da inclinação da tangente em
: temos
. Substituindo na expressão da derivada:
Igualando a
obtemos a primeira equação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Guarde essa equação (é uma relação linear entre
e
).
Passo 4
Agora usamos a condição de que o ponto
está na curva, ou seja
. Substituímos
em
:
Igualando a
(dado do enunciado) obtemos a segunda equação:
Dividindo ambos os lados por
para simplificar:
Passo 5
Agora temos um sistema linear simples formados pelas duas equações obtidas:
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar
:
No lado esquerdo
cancela:
. No lado direito
. Então
Passo 6
Com
, voltamos a uma das equações simples para achar
. Usando
:
Passo 7
Finalmente calculamos
: