(12 pts) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=2 a x^{2}+3 b x, sendo a e b constantes reais. Encontrar a+b, sabendo que a tangente à curva y=f(x) no ponto (3,-9) tem inclinação m=9.

Passo 1

O enunciado fornece a função \;f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\; dada por \;f(x)=2 a x^{2}+3 b x\;, onde a e b são constantes reais. Também são dadas duas informações sobre a curva y=f(x): o ponto \;(3,-9)\; pertence à curva e a tangente à curva em \;x=3\; tem inclinação \;m=9\;. A pergunta é: encontrar o valor de \;a+b\;.
Lista clara das informações fornecidas:
  • A função é \;f(x)=2 a x^{2}+3 b x\;.
  • O ponto \;(3,-9)\; está na curva, então \;f(3)=-9\;.
  • A inclinação da tangente em \;x=3\; é \;m=9\;, então a derivada satisfaz \;f'(3)=9\;.
  • Pedem \;a+b\;.

Passo 2

Entendendo o que é necessário usar: a inclinação da tangente a uma curva y=f(x) em um ponto de abscissa x é dada pela derivada \;f'(x)\;. Portanto precisamos calcular a derivada de \;f(x)\; em forma simbólica e depois avaliá-la em \;x=3\;.
Regra de derivação que vamos usar (explicando bem): para uma função do tipo \;C x^{n}\; (onde C é constante e n é inteiro), a derivada é \;C\cdot n\;x^{n-1}\;. Aqui a e b são constantes multiplicativas, então tratamos \;2a\; e \;3b\; como constantes.
Aplicando isso em \;f(x)=2 a x^{2}+3 b x\;:
  • A derivada de \;2a x^{2}\; é \;2a\cdot 2 x = 4 a x\;.
  • A derivada de \;3b x\; é \;3b\cdot 1 = 3 b\;.
Portanto,
f'(x)=4 a x + 3 b.

Passo 3

Usando a condição da inclinação da tangente em \;x=3\;: temos \;f'(3)=9\;. Substituindo na expressão da derivada:
f'(3)=4 a\cdot 3 + 3 b = 12 a + 3 b.
Igualando a \;9\; obtemos a primeira equação:
12 a + 3 b = 9.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por \;3\;:
4 a + b = 3.
Guarde essa equação (é uma relação linear entre a e b).

Passo 4

Agora usamos a condição de que o ponto \;(3,-9)\; está na curva, ou seja \;f(3)=-9\;. Substituímos \;x=3\; em \;f(x)=2 a x^{2}+3 b x\;:
f(3)=2 a\cdot 3^{2} + 3 b\cdot 3 = 2 a\cdot 9 + 9 b = 18 a + 9 b.
Igualando a -9 (dado do enunciado) obtemos a segunda equação:
18 a + 9 b = -9.
Dividindo ambos os lados por \;9\; para simplificar:
2 a + b = -1.

Passo 5

Agora temos um sistema linear simples formados pelas duas equações obtidas:
\begin{cases} 4 a + b = 3,\\[4pt] 2 a + b = -1. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar b:
(4 a + b) - (2 a + b) = 3 - (-1).
No lado esquerdo b cancela: 4 a - 2 a = 2 a. No lado direito 3 - (-1) = 4. Então
2 a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 2.]

Passo 6

Com \;a=2\;, voltamos a uma das equações simples para achar \;b\;. Usando \;2 a + b = -1\;:
2\cdot 2 + b = -1 \quad\Rightarrow\quad 4 + b = -1 \quad\Rightarrow\quad b = -1 - 4 = -5.

Passo 7

Finalmente calculamos \;a+b\;:
a+b = 2 + (-5) = -3.

Resposta

-3

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