12 Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?

Passo 1

O enunciado pede “quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos”. Isso significa contar todos os números entre 100 e 999 que são divisíveis por 7. Para resolver, vamos usar a ideia de progressão aritmética de razão 7 e divisão inteira.

Passo 2

Para achar o primeiro múltiplo de 7 com 3 algarismos, procuramos o menor inteiro n tal que
7n \ge 100.
Dividindo, temos 100/7 \approx 14{,}2857. O menor inteiro maior ou igual a esse valor é n = 15. Portanto, o primeiro múltiplo de 7 com 3 dígitos é
7 \times 15 = 105.

Passo 3

Para achar o último múltiplo de 7 com 3 algarismos, procuramos o maior inteiro m tal que
7m \le 999.
Dividindo, 999/7 \approx 142{,}7143. O maior inteiro menor ou igual a esse valor é m = 142. Logo, o último múltiplo de 7 com 3 dígitos é
7 \times 142 = 994.

Passo 4

Agora temos uma progressão aritmética de primeiro termo 105, último termo 994 e razão 7. O número de termos dessa PA é dado por
\frac{\text{último} - \text{primeiro}}{\text{razão}} + 1 = \frac{994 - 105}{7} + 1 = \frac{889}{7} + 1 = 127 + 1 = 128.úã
Alternativamente, podemos ver que os múltiplos correspondem a n variando de 15 até 142, dando 142 - 15 + 1 = 128 valores.

Resposta

128

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