Resolva as EDO’s
(4+t^2) d yd t+2 t cdot y=4 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(4 + t^2)dydt + 2t,y = 4t
Isso é uma EDO linear de primeira ordem no formato
dydt + p(t),y = q(t),
com
p(t)=2t4+t^2, q(t)=4t4+t^2
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t) como
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral 2t4+t^2,dtr)
Fazendo a substituição u=4+t^2, du=2t,dt, obtemos
integral 2t4+t^2,dt = integral duu = ln|u| = ln(4+t^2)
Logo
mu(t) = expl(ln(4+t^2)r) = 4 + t^2

Passo 3

Multiplicamos toda a EDO por mu(t)=4+t^2. O lado esquerdo fica
(4+t^2)dydt + 2t,y,
que reconhecemos como a derivada do produto ddtl[(4+t^2),yr]. Assim, a EDO transformada é
ddtl[(4+t^2),yr] = 4t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl[(4+t^2),yr],dt = integral 4t,dt Longrightarrow (4+t^2),y = 2t^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y(t) = 2t^2 + C4 + t^2

Resposta

boxedy(t) = 2t^2 + C4 + t^2,
onde C é a constante arbitrária de integração.

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