Utilizando, obrigatoriamente, transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial
12.8 Considere o seguinte modelo para a dispersão de um poluente em um rio em regime permanente:
onde
é a distância ao longo do rio, e
é a concentração do poluente. Utilizando obrigatoriamente transformada de Laplace, obtenha
.
12.8 Considere o seguinte modelo para a dispersão de um poluente em um rio em regime permanente:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condições iniciais
e
.
O objetivo é usar a transformada de Laplace em , definir
O objetivo é usar a transformada de Laplace em
e obter
por transformada inversa.
Passo 2
Aplicando
em cada termo, usamos
Logo, transformando
, vem
Passo 3
Distribuindo e recolhendo termos em
, obtemos
Como
,
Passo 4
Fazemos frações parciais
levando a
Igualando coeficientes:
resolve-se
,
. Assim
Passo 5
Aplicando a transformada inversa conhecida
obtemos