Utilizando, obrigatoriamente, transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial
12.8 Considere o seguinte modelo para a dispersão de um poluente em um rio em regime permanente:
2 \frac{\mathrm{d} c}{\mathrm{d} x}=3 \frac{\mathrm{d}^{2} c}{\mathrm{d} x^{2}}-c, \quad c(0)=1, \quad \frac{\mathrm{d} c(0)}{\mathrm{d} x}=0
onde x é a distância ao longo do rio, e c(x) é a concentração do poluente. Utilizando obrigatoriamente transformada de Laplace, obtenha c(x).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2\,\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x} = 3\,\frac{\mathrm{d}^2c}{\mathrm{d}x^2}-c
com condições iniciais c(0)=1 e \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}(0)=0.
O objetivo é usar a transformada de Laplace em x, definir
C(s)=\mathcal{L}\{c(x)\}(s)
e obter c(x) por transformada inversa.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em cada termo, usamos
\mathcal{L}\{c'(x)\}=s\,C(s)-c(0), \qquad \mathcal{L}\{c''(x)\}=s^2C(s)-s\,c(0)-c'(0).
Logo, transformando 2c'=3c''-c, vem
2\bigl(sC(s)-1\bigr) = 3\bigl(s^2C(s)-s\cdot1-0\bigr)-C(s).

Passo 3

Distribuindo e recolhendo termos em C(s), obtemos
2s\,C(s)-2 = 3s^2\,C(s)-3s-C(s) \;\;\Longrightarrow\;\; C(s)\,\bigl(3s^2-2s-1\bigr)=3s-2.
Como 3s^2-2s-1=(3s+1)(s-1),
C(s)=\frac{3s-2}{(3s+1)(s-1)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais
\frac{3s-2}{(3s+1)(s-1)} =\frac{A}{3s+1}+\frac{B}{s-1},
levando a
3s-2 =A(s-1)+B(3s+1) =(A+3B)\,s+(B-A).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+3B=3,\\\ B-A=-2, \end{cases}
resolve-se B=\tfrac14, A=\tfrac94. Assim
C(s)=\frac{9/4}{3s+1}+\frac{1/4}{s-1} =\frac{3/4}{s+\tfrac13}+\frac{1/4}{s-1}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa conhecida
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-a}\Bigr\}=e^{ax},
obtemos
c(x) =\frac{3}{4}\,e^{-x/3} +\frac{1}{4}\,e^{\,x}.

Resposta

c(x)=\frac{3}{4}\,e^{-x/3}+\frac{1}{4}\,e^{x}.

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