5- Lançamos repetidas vezes uma moeda. Seja X o número de caras até que consigamos sete coroas. Qual é a probabilidade de que o número de caras seja igual a cinco até que consigamos as sete coroas?

Passo 1

O enunciado: lançamos repetidas vezes uma moeda. Seja X o número de caras até conseguirmos sete coroas. Queremos a probabilidade de que o número de caras seja igual a cinco até conseguirmos as sete coroas, ou seja, calcular \Pr(X=5).
Informações relevantes que vamos usar (assumindo que a questão está bem formulada):
\begin{aligned} &\text{A moeda é justa (assumo isso): } \Pr(\text{cara})=\Pr(\text{coroa})=\tfrac{1}{2}.\\\ &r=7\quad\text{(precisamos de 7 coroas para parar).}\\\ &k=5\quad\text{(queremos exatamente 5 caras até esse momento).} \end{aligned}éé

Passo 2

Ideia do método (explicação passo a passo e por que funciona): para que X=5 (ou seja, exatamente 5 caras até obter a 7ª coroa), o último lançamento (o que faz parar o experimento) precisa ser uma coroa — essa é a 7ª coroa. Antes desse último lançamento tivemos, portanto, nos lançamentos anteriores exatamente r-1=6 coroas e k=5 caras, em qualquer ordem. O número total de lançamentos até o penúltimo é k+(r-1)=5+6=11.
Como os 11 primeiros lançamentos devem conter exatamente 5 caras e 6 coroas em qualquer ordem, o número de sequências possíveis desses 11 lançamentos é o número de maneiras de escolher quais das 11 posições são caras, ou seja \binom{11}{5}.
Cada sequência específica com 5 caras e 6 coroas (nos primeiros 11) tem probabilidade p^{5}(1-p)^{6}, onde p=\Pr(\text{cara}). Depois vem o 12º lançamento que precisa ser uma coroa, com probabilidade (1-p). Multiplicando tudo, a probabilidade procurada é
\Pr(X=k)=\binom{k+r-1}{k}\,p^{k}(1-p)^{r}.
Essa fórmula é a distribuição binomial negativa no caso “número de sucessos (caras) antes de r falhas (coroas)”. Aqui k=5, r=7 e p=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Agora aplicamos os valores numéricos. Primeiro o fator combinatório:
\binom{11}{5}=\frac{11!}{5!\,6!}=\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calculando passo a passo:
11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7=55440, \qquad 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120,
\binom{11}{5}=\frac{55440}{120}=462.
Com p=\tfrac{1}{2} e r=7, temos
\Pr(X=5)=462\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{7}=462\left(\tfrac{1}{2}\right)^{12}.

Passo 4

Calculamos \left(\tfrac{1}{2}\right)^{12}=\tfrac{1}{2^{12}}=\tfrac{1}{4096}. Assim
\Pr(X=5)=\frac{462}{4096}.
Simplificando por 2:
\Pr(X=5)=\frac{231}{2048}.

Resposta

\displaystyle \frac{231}{2048}

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