5- Lançamos repetidas vezes uma moeda. Seja X o número de caras até que consigamos sete coroas. Qual é a probabilidade de que o número de caras seja igual a cinco até que consigamos as sete coroas?
Passo 1
O enunciado: lançamos repetidas vezes uma moeda. Seja
o número de caras até conseguirmos sete coroas. Queremos a probabilidade de que o número de caras seja igual a cinco até conseguirmos as sete coroas, ou seja, calcular
.
Informações relevantes que vamos usar (assumindo que a questão está bem formulada):
Passo 2
Ideia do método (explicação passo a passo e por que funciona): para que
(ou seja, exatamente 5 caras até obter a 7ª coroa), o último lançamento (o que faz parar o experimento) precisa ser uma coroa — essa é a 7ª coroa. Antes desse último lançamento tivemos, portanto, nos lançamentos anteriores exatamente
coroas e
caras, em qualquer ordem. O número total de lançamentos até o penúltimo é
.
Como os
primeiros lançamentos devem conter exatamente
caras e
coroas em qualquer ordem, o número de sequências possíveis desses
lançamentos é o número de maneiras de escolher quais das
posições são caras, ou seja
.
Cada sequência específica com
caras e
coroas (nos primeiros 11) tem probabilidade
, onde
. Depois vem o 12º lançamento que precisa ser uma coroa, com probabilidade
. Multiplicando tudo, a probabilidade procurada é
Essa fórmula é a distribuição binomial negativa no caso “número de sucessos (caras) antes de
falhas (coroas)”. Aqui
,
e
.
Passo 3
Agora aplicamos os valores numéricos. Primeiro o fator combinatório:
Calculando passo a passo:
Com
e
, temos
Passo 4
Calculamos
. Assim
Simplificando por
: