4- Seja X uma variável aleatória que pode receber os valores -1,0 e 1 com respectivas probabilidades:
P\{X=-1\}=0,2 \quad P\{X=0\}=0,5 \quad P\{X=1\}=0,3
Calcule E[X^{2}]

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X que pode assumir os valores -1, 0 e 1 com probabilidades:
P\{X=-1\}=0,2,\quad P\{X=0\}=0,5,\quad P\{X=1\}=0,3.
A pergunta é: calcular E[X^{2}], ou seja, a esperança (valor esperado) da função X^{2}.

Passo 2

Definição importante que vamos usar (é a fórmula da esperança para variáveis discretas): se X toma valores \{x_i\} com probabilidades P\{X=x_i\}, então para qualquer função real g vale
E[g(X)] = \sum_{i} g(x_i)\,P\{X=x_i\}.
Aqui g é uma função qualquer (no nosso caso g(x)=x^2), x_i são os valores possíveis de X e P\{X=x_i\} é a probabilidade de cada valor. Essa fórmula significa: para cada valor que X pode tomar, avalio g nesse valor e peso pelo que ele ocorre, e somo tudo.

Passo 3

Aplicando a fórmula com g(x)=x^2. Primeiro calculo os quadrados dos valores possíveis:
(-1)^2 = 1,\qquad 0^2 = 0,\qquad 1^2 = 1.
Então os termos que vão entrar na soma são 1, 0 e 1, respectivamente.

Passo 4

Agora monto a soma usando as probabilidades dadas:
E[X^{2}] = (-1)^2 P\{X=-1\} + 0^2 P\{X=0\} + 1^2 P\{X=1\}.
Substituindo os valores:
E[X^{2}] = 1\cdot 0,2 + 0\cdot 0,5 + 1\cdot 0,3.
Faço as multiplicações e a soma passo a passo:
1\cdot 0,2 = 0,2,\qquad 0\cdot 0,5 = 0,\qquad 1\cdot 0,3 = 0,3,
portanto
E[X^{2}] = 0,2 + 0 + 0,3 = 0,5.

Resposta

0,5

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