4- Seja
uma variável aleatória que pode receber os valores
e 1 com respectivas probabilidades:
Calcule
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
que pode assumir os valores
,
e
com probabilidades:
A pergunta é: calcular
, ou seja, a esperança (valor esperado) da função
.
Passo 2
Definição importante que vamos usar (é a fórmula da esperança para variáveis discretas): se
toma valores
com probabilidades
, então para qualquer função real
vale
Aqui
é uma função qualquer (no nosso caso
),
são os valores possíveis de
e
é a probabilidade de cada valor. Essa fórmula significa: para cada valor que
pode tomar, avalio
nesse valor e peso pelo que ele ocorre, e somo tudo.
Passo 3
Aplicando a fórmula com
. Primeiro calculo os quadrados dos valores possíveis:
Então os termos que vão entrar na soma são
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora monto a soma usando as probabilidades dadas:
Substituindo os valores:
Faço as multiplicações e a soma passo a passo:
portanto