2.12 Seja
dada por
.
- Obtenha a equação da reta que tangencia o gráfico de
e é paralela à reta de equação
.
- Qual é o ponto de tangência? Em que ponto esta reta tangente corta o eixo
?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a reta tangente ao seu gráfico que seja paralela à reta
. Para isso vamos usar derivadas, pois a derivada
em um ponto
nos dá a inclinação da reta tangente aí.
Passo 2
Calcular a derivada de
. Como
, aplicamos a regra do poder:
Portanto a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 3
Queremos que essa inclinação seja igual à inclinação da reta
, que é
. Então resolvemos
já que
.
Passo 4
O ponto de tangência é
. Como
, temos
logo o ponto é
. A reta tangente, com inclinação
, passa por
e sua equação ponto-inclinação é
Simplificando,
Passo 5
Para achar onde esta reta corta o eixo
, basta pôr
em
:
Então o ponto de interseção com o eixo
é
.
Resposta
A reta tangente é
O ponto de tangência é
.
O corte com o eixo ocorre em
.
O corte com o eixo