2.12 Seja f:(0, infty) R dada por f(x)=4x^2.
  1. Obtenha a equação da reta que tangencia o gráfico de f e é paralela à reta de equação y=-x.
  2. Qual é o ponto de tangência? Em que ponto esta reta tangente corta o eixo x ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4x^2, x>0,
e pede a reta tangente ao seu gráfico que seja paralela à reta y=-x. Para isso vamos usar derivadas, pois a derivada f'(a) em um ponto a nos dá a inclinação da reta tangente aí.

Passo 2

Calcular a derivada de f. Como f(x)=4x^-2, aplicamos a regra do poder:
f'(x)=4cdot(-2),x^-3=-8x^-3=-8x^3
Portanto a inclinação da reta tangente em x=a é f'(a)=-8/a^3.

Passo 3

Queremos que essa inclinação seja igual à inclinação da reta y=-x, que é -1. Então resolvemos
-8a^3=-1 Longrightarrow 8a^3=1 Longrightarrow a^3=8 Longrightarrow a=2,
já que a>0.

Passo 4

O ponto de tangência é l(a,f(a)r). Como a=2, temos
f(2)=42^2=1,
logo o ponto é (2,1). A reta tangente, com inclinação m=-1, passa por (2,1) e sua equação ponto-inclinação é
y-1=-1,(x-2)
Simplificando,
y-1=-x+2 Longrightarrow y=-x+3

Passo 5

Para achar onde esta reta corta o eixo x, basta pôr y=0 em y=-x+3:
0=-x+3 Longrightarrow x=3
Então o ponto de interseção com o eixo x é (3,0).

Resposta

A reta tangente é
y=-x+3
O ponto de tangência é (2,1).
O corte com o eixo x ocorre em (3,0).

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