2.9 Considere
definida por
e um ponto arbitrário (
). Mostre que se
, existe uma única reta passando por
que seja tangente ao gráfico de
. Caso
, existem duas retas com esta propriedade. Finalmente, caso
não existe nenhuma reta passando por (
) que seja tangente ao gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede para contar quantas retas, passando por um ponto arbitrário
, são tangentes ao gráfico de
. O conteúdo principal é o uso da derivada para obter a equação geral da reta tangente em um ponto de abscissa
, e em seguida impor que essa reta passe por
.
Passo 2
A derivada de
é
logo a inclinação da reta tangente em
é
. A equação ponto-inclinação da reta tangente em
é
que, ao simplificar, vira
Passo 3
Impor que essa reta passe por
significa
Rearranjando, obtemos uma equação quadrática em
:
Passo 4
O número de soluções reais dessa equação em
é dado pelo discriminante
- Se
, então e há uma única solução para , logo exatamente uma reta tangente. - Se
, então e surgem duas soluções distintas para , logo duas retas tangentes. - Se
, então e não há solução real para , logo nenhuma reta tangente.
Resposta
- Para
: existe uma única reta tangente. - Para
: existem duas retas tangentes. - Para
: não existe reta tangente.