2.9 Considere f: R R definida por f(x)=x^2 e um ponto arbitrário ( x0, y0 ). Mostre que se y0=x0^2, existe uma única reta passando por (x0, y0) que seja tangente ao gráfico de f. Caso y0<x0^2, existem duas retas com esta propriedade. Finalmente, caso y0>x0^2 não existe nenhuma reta passando por ( x0, y0 ) que seja tangente ao gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede para contar quantas retas, passando por um ponto arbitrário (x0,y0), são tangentes ao gráfico de f(x)=x^2. O conteúdo principal é o uso da derivada para obter a equação geral da reta tangente em um ponto de abscissa a, e em seguida impor que essa reta passe por (x0,y0).

Passo 2

A derivada de f é
f'(x)=2x,
logo a inclinação da reta tangente em x=a é m=2a. A equação ponto-inclinação da reta tangente em l(a,f(a)r)=(a,a^2) é
y - a^2 = 2a,(x - a),
que, ao simplificar, vira
y = 2a,x - a^2

Passo 3

Impor que essa reta passe por (x0,y0) significa
y0 = 2a,x0 - a^2
Rearranjando, obtemos uma equação quadrática em a:
a^2 - 2x0a + y0 = 0

Passo 4

O número de soluções reais dessa equação em a é dado pelo discriminante
De<a = ( -2x0)^2 - 4cdot1cdot y0 = 4l(x0^2 - y0r)
  • Se y0=x0^2, então De<a=0 e há uma única solução para a, logo exatamente uma reta tangente.
  • Se y0<x0^2, então De<a>0 e surgem duas soluções distintas para a, logo duas retas tangentes.
  • Se y0>x0^2, então De<a<0 e não há solução real para a, logo nenhuma reta tangente.

Resposta

  • Para y0=x0^2: existe uma única reta tangente.
  • Para y0<x0^2: existem duas retas tangentes.
  • Para y0>x0^2: não existe reta tangente.

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