Verifique se os campos de vetores abaixo são conservativos e, em caso afirmativo, encontre o seu potencial:
F(x, y)=(y e^x y+2 x) i+x^2 e^x y j;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo de vetores
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com
P(x,y) = y,e^xy + 2x, Q(x,y) = x^2,e^xy
é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.
Como o domínio de F é todo R^2, que é simplesmente conectado, basta checar se
partial Ppartial y = partial Qpartial x.

Passo 2

Calcular
partial Ppartial y.
Como
P(x,y) = y,e^xy + 2x,
temos
partial Ppartial y = partialpartial yl(y,e^xyr) + partialpartial y(2x) = e^xy + y,(x,e^xy) + 0 = e^xy,(1 + x,y)

Passo 3

Calcular
partial Qpartial x.
Como
Q(x,y) = x^2,e^xy,
temos
partial Qpartial x = 2x,e^xy + x^2,(y,e^xy) = e^xy,(2x + x^2,y) = e^xy,x,(2 + x,y)

Passo 4

Comparando os dois resultados:
partial Ppartial y = e^xy(1 + x,y), partial Qpartial x = e^xy,x,(2 + x,y),
vemos que
e^xy(1 + x,y)neq e^xy,x,(2 + x,y) em geral.
Logo partial Ppartial yneqpartial Qpartial x, o que significa que F não é conservativo.

Resposta

O campo de vetores F(x,y) não é conservativo, portanto não existe potencial escalar.

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